平行四边形 未知点的确定Word格式.docx

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例题2：

如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A（0,1）、B（4,3）两点．

（2）求tan∠ABO的值；

（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．

当已知的两点构造的直线与坐标轴不垂直时，利用中点坐标公式构造等式，进而组成二元一次方程组，或未知点的纵坐标与已知点纵坐标的关系

例3．（2012山西）综合与实践：

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；

（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：

随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；

若不存在，请说明理由．

（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

（2）两点在直线异侧时，分别将直线当成边和对角线进行分类讨论如例4

如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（-1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；

（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，

使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？

若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；

若不存在，请说明理由。

三练习题

类型一：

已知三个定点、一个动点的平行四边形存在性问题

1.已知抛物线与轴的一个交点为A（-1,0），与y轴的正半轴交于点C．

⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；

⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；

⑶坐标平面内是否存在点,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？

若存在,请求出点的坐标；

若不存在,请说明理由．

2、已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.

（1）填空：

试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；

（2）如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；

（3）在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点的坐标；

若不存在，试说明理由.

类型2已知两个定点，再找两个点构成平行四边形

①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）

3．已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。

点B的坐标为（1，0）,OC=30B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：

（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上。

是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?

若存在，求点P的坐标；

②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形得边或对角线

4．如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，

求线段PE长度的最大值；

（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样

的四个点为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，求出所有满足条件的F

点坐标；

如果不存在，请说明理由．

例题答案：

例题1

考点：

二次函数综合题．

分析：

如解答图所示：

（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；

然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；

（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；

根据S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线l的解析式；

（3）首先作出▱PACB，然后证明点P在抛物线上即可．

解答：

解：

（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°

．

∵∠OBA+∠OAB=90°

，∠OAB+∠CAD=90°

，

∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．

∵在△AOB与△CDA中，

∴△AOB≌△CDA（ASA）．

∴CD=OA=1，AD=OB=2，

∴OD=OA+AD=3，

∴C（3，1）．

∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx﹣2上，

∴1=×

9+3b﹣2，解得：

b=﹣．

∴抛物线的解析式为：

y=x2﹣x﹣2．

（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：

AB=．

∴S△ABC=AB2=．

设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），

∴，

解得k=﹣，b=2，

∴y=﹣x+2．

同理求得直线AC的解析式为：

y=x﹣．

如答图1所示，

设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（﹣x+2）﹣（x﹣）=﹣x．

△CEF中，CE边上的高h=OD﹣x=3﹣x．

由题意得：

S△CEF=S△ABC，

即：

EF•h=S△ABC，

∴（﹣x）•（3﹣x）=×

整理得：

（3﹣x）2=3，

解得x=3﹣或x=3+（不合题意，舍去），

∴当直线l解析式为x=3﹣时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．

（3）存在．

如答图2所示，

过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1．

过点A作AP∥BC，且AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形．

过点P作PH⊥x轴于点H，则易证△PAH≌△BCG，

∴PH=BG=1，AH=CG=3，

∴OH=AH﹣OA=2，

∴P（﹣2，1）．

抛物线解析式为：

y=x2﹣x﹣2，当x=﹣2时，y=1，即点P在抛物线上．

∴存在符合条件的点P，点P的坐标为（﹣2，1）．

点评：

本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算．

满分解答

（1）将A（0,1）、B（4,3）分别代入y＝－x2＋bx＋c，得

解得，c＝1．

所以抛物线的解析式是．

（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5．

如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H．

在Rt△AOH中，OA＝1，，

所以．图2

所以，．

在Rt△ABH中，．

（3）直线AB的解析式为．

设点M的坐标为，点N的坐标为，

那么．

当四边形MNCB是平行四边形时，MN＝BC＝3．

解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．

因为x＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M的坐标为（如图3）．

图3图4

考点伸展

第（3）题如果改为：

点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．

那么求点M的坐标要考虑两种情况：

MN＝yM－yN或MN＝yN－yM．

由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得（如图5）．

所以符合题意的点M有4个：

，，，．

图5

例题3解答：

（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3．

∵点A在点B的左侧，

∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．

当x=0时，y=3．

∴C点的坐标为（0，3）

设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），

则，

解得，

∴直线AC的解析式为y=3x+3．

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D的坐标为（1，4）．

（2）抛物线上有三个这样的点Q，

①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；

②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣3）；

③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）；

综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：

Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）．

（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求，

过点B′作B′E⊥x轴于点E．

∵∠1和∠2都是∠3的余角，

∴∠1=∠2．

∴Rt△AOC～Rt△AFB，

由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，

∴AC=，AB=4．

∴BF=，

∴BB′=2BF=，

由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，

∴，即．

∴B′E=，BE=，

∴OE=BE﹣OB=﹣3=．

∴B′点的坐标为（﹣，）．

设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）．

∴直线B'

D的解析式为：

y=x+，

联立B'

D与AC的直线解析式可得：

∴M点的坐标为（，）．

例题4解：

（1）由题意得

解得：

b=2，c=-3，则解析式为：

y=x2+2x-3；

（2）由题意结合图形，

则解析式为：

y=x2+2x-3，解得x=1或x=-3，由题意点A（-3，0），

∴AC=，CD=，AD=，

由AC2+CD2=AD2，所以△ACD为直角三角形；

（3）3，若AB为一边，则EF平行且等于AB等于4，则E、F的纵坐标相等，设F（X1,Y1），则X1=-5Y1=12或X1=3Y1=12，

若AB为对角线，则EF也为对角线，因E在对称轴上，根据平行四边形的性质，对角线平分，所以只有顶点D符合。

因此F点为（-5，12）或（3，12）或（-1，-4）

练习题答案

1.解：

⑴对称轴是直线：

，点B的坐标是（3,0）．……2分

说明：

每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．

⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A（-1,0）、B（3,0），

∴AB＝4．∴

在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，

∴

∴b＝………………………………3分

当时，