从Apollonius圆到极线三角形Word格式.docx
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I为内心。
分析：
当然要用内心定义证明I为角分线交点。
证法1：
由垂直和射影定理及相交弦定理有：
EM*MD==OM*MP，故PDOE四点共圆，又OD=OE，则，即直线PD、PE关于PO对称，则截弧相等，即DI平分，则I为内心，证毕。
证法2：
容易发现本题本质即为Apollonius圆。
因为如下图所示，我们刚才已经证完到AB距离之比为定值的点的轨迹为Apollonius圆。
显然当时，有，则AP为圆切线，因此本题中圆为阿氏圆，则PI、EI分别为内角平分线，即I为内心。
通过证法二说明发现问题的本质往往能轻而易举解决问题，而且还能更一步加深对问题的理解和把握。
进一步，我们有过M的任意弦与P构成的三角形有共同的内心I，反之呢即若共一条角分线的两个三角形PAB、PDE共内心I，则四顶点ADBE共圆。
由上面定理易得。
如下图所示。
顺便说一下，显然他们也共旁心。
通过上例我们发现本定理的本质是一个比例关系式：
例2.如图，圆O‘内切圆O于D，A为大圆O上任一点，AB、AC为圆O的弦，分别切圆O’于E、F，EF交AO’于I，求证I为内心。
证法一：
先证明如下引理：
如上图，两圆内切，则，这是因为，做出两圆的公切线，则且，则。
下面证明本结论，我们由例1的证明知,由此得，则CFID共圆，又,,即CI为角平分线，则I为内心。
证法二：
利用点对圆的幂来计算。
延长AO‘交圆O于P，设圆O、O‘半径为R、r、，则
即IP=2Rsin1=BP，则I为内心。
由证法二可以得到，本问题的逆命题依然成立，即过圆内接内心I作AI垂线交AB、AC于E、F，则切AB、AC于E、F的圆必然与其外接圆相切。
证法与证法二一致。
为了进一步认识本类问题的本质，下面我们引入调和点列的概念和基本性质。
如例1图：
对于同一直线上依次四点ABP，若满足ABP构成调和点列。
称AB、P互相调和分割。
由图知调和点列有如下等价性质：
1．（O为中点）
2.
3.A的幂+B的幂（因为A的幂+B的幂）
如图，我们知道PIMK为调和点列，那么任意做一条割线PQRS，是否有类似性质呢答案是肯定的。
这是因为
=P的幂-R的幂
则PQRS为调和点列。
当然，我们也能通过面积计算证明其为调和点列。
证法如下：
=
证毕。
由此，我们知道对于定圆和平面上任意一点，对于此圆与P成调和点列的点R的轨迹为一条线，我们定义此直线为P点的极线。
当点在圆外时，其极线为其切点弦。
当点R位于圆内部时，其极线为过P垂直于OR的直线。
做圆外点的极线除了做切线外，还能通过做割线得到。
（因为切线为割线的特殊情况，因此不难理解。
）如下图，过圆外一点P做割线PAB、PCD，E、F为对角线交点，则EF即为P对圆O的极线。
显然欲证结果，需证明E在P极线上，一般有两种方法：
证法一．作AEB外接圆交PE于M，则PE*PM=PA*PB=PC*PD，即CDME共圆（其实，P为三圆根心。
M为ABCD密克点），即BOMD共圆，则,即M为弦中点由此即得E在P极线上。
只需证E在P的切点弦上即可，如图，只需证ST、AD、BC三线共点，用塞瓦定理逆定理即可。
ABT中，欲证共线即证明
即，事实上,故成立。
类似的我们能证明F点也在此线上。
下面我们证明一个射影几何中的重要结论：
配极定理。
如果一个点的极线通过另一个点，则另一个点的极线也通过此点。
我们可以用几何方法证明，但是本题用解析法非常方便，本质。
证明：
设圆为单位圆，A（）,D（），设D在A的极线上。
显然A极线方程为：
，因为D在其上，故，也就得到A在直线，也即A在D的极线上。
证毕
下面进一步研究上图，引入极线三角形。
，如下图，设圆内接四边形ABCD对角线交于EFG，
则EFG称为极线三角形。
其中EFGO构成垂心组（即任意一点是其余三点的垂心）
其实这个的证明，我们在上面已经完成了。
下面提供一种新的证明。
我们前面已经证明
，由此即得
则OG垂直EF，其余同理可证。
其实OGEF对圆外切四边形照样成立。
我们可以另起锅灶利用双心四边形性质证明，也可以在上图中利用以上结论证明。
由G在BD上，知BD极点在EF上，同理可证其余共点如上图。
则对圆外切四边形其对角线交点与对应的圆内接四边形对角线重合，对角线亦然。
由刚才的证明知OGEF，故本结论依然成立。
对本图，还有一个结论，若ＥＦ中点为Ｍ，ＡＭ交圆于Ｎ，则ＥＣＮＦ四点共圆。
欲证共圆，即证，即，因此需利用刚才结论计算即可。
有刚才结论有，ＭＮ×
ＭＡ＝M的幂==
则，ＥＣＮＦ四点共圆。
此题有很多证法，但是为了揭示其本质，需引入调和线束的概念。
射影几何主要研究几何关系在射影变换的情况下的射影不变量，而交比正是其中的的一个。
如图，共点的四条直线被任意直线所截得线段比为其交比，下面证明任意直线的交比相同。
显然此比值与线段长度无关，即交比是一个定值。
特别的，对过某点与调和点列的四条直线被任意直线截得的都是调和点列。
我们称其为调和线束。
特别的对调和线束ABCD（如上图），若B为AC中点，则DA=CA，则D为无穷远点。
因此，对调和线束，过调和点列中的任一点做某条直线的平行线，由于交成四点必然为调和点列，而平行线交点为无穷远点，故此平行线被另外两条直线所截的线段相等，其实这就是我们本题的结论。
（因为割线PCD被圆和AB分成调和点列，APACABAD成调和线束，故过C作PA平行线被平分，即CE=EF）
当然，本题我们也可以直接利用调和点列倒比例来证明。
欲证CE=EF，即证
显然成立。
已知：
圆O切AB、AC于D、E，M为BC上点，AM交DE于N，
BM=CMONBC
如图，显然有
BM=CM
其实这个问题的本质还是调和线束。
下面问题是平面几何中著名的蝴蝶定理，当然我们有很多种方法证明它，我们通过第二个图可以发现其本质还是调和线束的性质。
圆O的弦AB中点为M，CD、EF为过M的两条弦，CE、DF交AB于P、Q。
MP=MQ
一种本质的证法为解析法：
以M为原点，AB为x轴建坐标系，则圆的方程为：
直线EF、CD合成的二次曲线方程分别为：
，则过此二次曲线和圆的交点EFCD的二次曲线方程为：
显然此二次曲线与x轴交点无一次项，即MP=MQ
通过下图，我们由前面的证明知道BMDN成调和点列，从而FE、FD、FM、FB为调和线束。
而又有OMEF，OMPQ（因为M为弦中点），则PQEF，则MP=MQ
已知如图，三角形ABC内切圆O切三边于DEF，AF交圆O于P。
AD=2APBPCP
如图；
显然BIKP为调和点列，则BJDA也为调和点列，则有BD=BF,。
因此AD=2APAF=2AD
FJ为BFA平分线
IPF=IFPBPCP
叶中豪老师提出的问题：
如下图，完全四边形ABCDEF中，AC交BD于G，G关于AB、AC的对称点分别为G’G’’，G’G’’交EF于H，求证：
EGGH
显然G、G’、G’’在以E为圆心，EG为半径的圆上。
因此联想到下图，这是一个经典的结论，也是蝴蝶定理的一种变形。
如图，圆O中，OJ=OKOGGH，因此为证EGGHEJ=JKGKPointsontheincircleoftrianglearesuchthataretangenttotheincircleand.Letbethemidpointsofsides,respectively.Provethatthelinesintersectontheincircleoftriangle.
Letbethealtitudesofanacuteangledtriangle.Itsincircletouchesthesidesandatandrespectively.Considerthesymmetricimagesofthelinesandwithrespecttothelinesand.Provethattheseimagesformatrianglewhoseverticeslieontheincircleof.
TwocirclesandtouchinternallythecircleinMandNandthecenterofison.Thecommonchordofthecirclesandintersectsinand.andintersectsinand.Provethatistangentto.
Letbeaconvexquadrilateralwithdifferentfrom.Denotetheincirclesoftrianglesandbyandrespectively.Supposethatthereexistsacircletangenttoraybeyondandtotheraybeyond,whichisalsotangenttothelinesand.Provethatthecommonexternaltangentstoandintersectson.
Triangleisgiven.Pointsiareonlinesuchthatand.Bisectorofinternalanglesatandintersectatand,andcircumcircleofatand.Linewhichconnectswithcenterofcircumcircleofandlinewhichconnectsandcenterofcircumcircleofintersectat.Provethat.
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