1、I为内心。分析:当然要用内心定义证明I为角分线交点。证法1:由垂直和射影定理及相交弦定理有:EM*MD=OM*MP,故PDOE四点共圆,又OD=OE,则,即直线PD、PE关于PO对称,则截弧相等,即DI平分,则I为内心,证毕。证法2:容易发现本题本质即为Apollonius圆。因为如下图所示,我们刚才已经证完到AB距离之比为定值的点的轨迹为Apollonius圆。显然当时,有,则AP为圆切线,因此本题中圆为阿氏圆,则PI、EI分别为内角平分线,即I为内心。通过证法二说明发现问题的本质往往能轻而易举解决问题,而且还能更一步加深对问题的理解和把握。进一步,我们有过M的任意弦与P构成的三角形有共同的
2、内心I,反之呢即若共一条角分线的两个三角形PAB、PDE共内心I,则四顶点ADBE共圆。由上面定理易得。如下图所示。顺便说一下,显然他们也共旁心。通过上例我们发现本定理的本质是一个比例关系式:例2.如图,圆O内切圆O于D,A为大圆O上任一点,AB、AC为圆O的弦,分别切圆O于E、F,EF交AO于I,求证I为内心。证法一:先证明如下引理:如上图,两圆内切,则,这是因为,做出两圆的公切线,则且,则。下面证明本结论,我们由例1的证明知,由此得,则CFID共圆,又,即CI为角平分线,则I为内心。证法二:利用点对圆的幂来计算。延长AO交圆O于P,设圆O、O半径为R、r、,则即IP=2Rsin1=BP,则
3、I为内心。由证法二可以得到,本问题的逆命题依然成立,即过圆内接内心I作AI垂线交AB、AC于E、F,则切AB、AC于E、F的圆必然与其外接圆相切。证法与证法二一致。为了进一步认识本类问题的本质,下面我们引入调和点列的概念和基本性质。如例1图:对于同一直线上依次四点ABP,若满足 ABP构成调和点列。称AB、P互相调和分割。由图知调和点列有如下等价性质:1(O为中点)2. 3. A的幂+B的幂(因为 A的幂+B的幂)如图,我们知道PIMK为调和点列,那么任意做一条割线PQRS,是否有类似性质呢答案是肯定的。这是因为=P的幂-R的幂则PQRS为调和点列。当然,我们也能通过面积计算证明其为调和点列。
4、证法如下:=证毕。由此,我们知道对于定圆和平面上任意一点,对于此圆与P成调和点列的点R的轨迹为一条线,我们定义此直线为P点的极线。当点在圆外时,其极线为其切点弦。当点R位于圆内部时,其极线为过P垂直于OR的直线。做圆外点的极线除了做切线外,还能通过做割线得到。(因为切线为割线的特殊情况,因此不难理解。)如下图,过圆外一点P做割线PAB、PCD,E、F为对角线交点,则EF即为P对圆O的极线。显然欲证结果,需证明E在P极线上,一般有两种方法:证法一作AEB外接圆交PE于M,则PE*PM=PA*PB=PC*PD,即CDME共圆(其实,P为三圆根心。M为ABCD密克点),即BOMD共圆,则,即M为弦中
5、点由此即得E在P极线上。只需证E在P的切点弦上即可,如图,只需证ST、AD、BC三线共点,用塞瓦定理逆定理即可。ABT中,欲证共线即证明即,事实上,故成立。类似的我们能证明F点也在此线上。下面我们证明一个射影几何中的重要结论:配极定理。如果一个点的极线通过另一个点,则另一个点的极线也通过此点。我们可以用几何方法证明,但是本题用解析法非常方便,本质。证明:设圆为单位圆,A(), D(),设D在A的极线上。显然A极线方程为: ,因为D在其上,故,也就得到A在直线,也即A在D的极线上。证毕下面进一步研究上图,引入极线三角形。,如下图,设圆内接四边形ABCD对角线交于EFG,则EFG称为极线三角形。其
6、中EFGO构成垂心组(即任意一点是其余三点的垂心)其实这个的证明,我们在上面已经完成了。下面提供一种新的证明。我们前面已经证明,由此即得,则OG垂直EF,其余同理可证。其实OGEF对圆外切四边形照样成立。我们可以另起锅灶利用双心四边形性质证明,也可以在上图中利用以上结论证明。由G在BD上,知BD极点在EF上,同理可证其余共点如上图。则对圆外切四边形其对角线交点与对应的圆内接四边形对角线重合,对角线亦然。由刚才的证明知OGEF,故本结论依然成立。对本图,还有一个结论,若中点为,交圆于,则四点共圆。欲证共圆,即证,即,因此需利用刚才结论计算即可。有刚才结论有,M的幂= =,则,四点共圆。此题有很多
7、证法,但是为了揭示其本质,需引入调和线束的概念。射影几何主要研究几何关系在射影变换的情况下的射影不变量,而交比正是其中的的一个。如图,共点的四条直线被任意直线所截得线段比为其交比,下面证明任意直线的交比相同。显然此比值与线段长度无关,即交比是一个定值。特别的,对过某点与调和点列的四条直线被任意直线截得的都是调和点列。我们称其为调和线束。特别的对调和线束ABCD(如上图),若B为AC中点,则DA=CA,则D为无穷远点。因此,对调和线束,过调和点列中的任一点做某条直线的平行线,由于交成四点必然为调和点列,而平行线交点为无穷远点,故此平行线被另外两条直线所截的线段相等,其实这就是我们本题的结论。(因
8、为割线PCD被圆和AB分成调和点列,APACABAD成调和线束,故过C作PA平行线被平分,即CE=EF)当然,本题我们也可以直接利用调和点列倒比例来证明。欲证CE=EF,即证显然成立。已知:圆O切AB、AC于D、E,M为BC上点,AM交DE于N,BM=CMONBC如图,显然有BM=CM其实这个问题的本质还是调和线束。下面问题是平面几何中著名的蝴蝶定理,当然我们有很多种方法证明它,我们通过第二个图可以发现其本质还是调和线束的性质。圆O的弦AB中点为M,CD、EF为过M的两条弦,CE、DF交AB于P、Q。MP=MQ一种本质的证法为解析法:以M为原点,AB为x轴建坐标系,则圆的方程为:直线EF、CD
9、合成的二次曲线方程分别为:,则过此二次曲线和圆的交点EFCD的二次曲线方程为:显然此二次曲线与x轴交点无一次项,即MP=MQ通过下图,我们由前面的证明知道BMDN成调和点列,从而FE、FD、FM、FB为调和线束。而又有OMEF,OMPQ(因为M为弦中点),则PQEF,则MP=MQ已知如图,三角形ABC内切圆O切三边于DEF,AF交圆O于P。AD=2APBPCP如图;显然BIKP为调和点列,则BJDA也为调和点列,则有BD=BF,。因此AD=2APAF=2ADFJ为BFA平分线IPF= IFP BPCP叶中豪老师提出的问题:如下图,完全四边形ABCDEF中,AC交BD于G,G关于AB、AC的对称
10、点分别为GG, GG交EF于H,求证:EGGH显然G、G、G在以E为圆心,EG为半径的圆上。因此联想到下图,这是一个经典的结论,也是蝴蝶定理的一种变形。如图,圆O中,OJ=OKOGGH,因此为证EGGHEJ=JKGKPoints on the incircle of triangle are such that are tangent to the incircle and . Let be the midpoints of sides , respectively. Prove that the lines intersect on the incircle of triangle .Let
11、 be the altitudes of an acute angled triangle . Its incircle touches the sides and at and respectively. Consider the symmetric images of the lines and with respect to the lines and . Prove that these images form a triangle whose vertices lie on the incircle of .Two circles and touch internally the c
12、ircle in M and N and the center of is on . The common chord of the circles and intersects in and . and intersects in and . Prove that is tangent to .Let be a convex quadrilateral with different from . Denote the incircles of triangles and by and respectively. Suppose that there exists a circle tange
13、nt to ray beyond and to the ray beyond , which is also tangent to the lines and . Prove that the common external tangents to and intersects on .Triangle is given. Points i are on line such that and . Bisector of internal angles at and intersect at and , and circumcircle of at and . Line which connects with center of circumcircle of and line which connects and center of circumcircle of intersect at . Prove that .
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