中考数学专题复习常见模型方法隐圆模型之米勒定理Word文档格式.docx

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4．如图，∠MAN＝45°

，B、C为AN上两点，AB＝1，BC＝3，D为AM上的一个动点，过B、C、D三点作⊙O，当sin∠BDC的值最大时，⊙O的半径为_________

三、解答题

5．如图，已知足球球门宽AB约为5米，一球员从距B点5米的C点（点A､B､C均在球场底线上），沿着与AC成45°

角的CD方向带球．试问，该球员能否在射线CD上找到一点P，使得点P为最佳射门点（即∠APB最大）？

若能找到，求出此时点P到点C的距离；

若找不到，请说明理由．

6．问题探究：

（1）如图①，AB为⊙O的弦，点C是⊙O上的一点，在直线AB上方找一个点D，使得∠ADB=∠ACB，画出∠ADB；

（2）如图②，AB是⊙O的弦，点C是⊙O上的一个点，在过点C的直线l上找一点P，使得∠APB<

∠ACB，画出∠APB；

（3）如图③，已知足球门宽AB约为米，一球员从距B点米的C点（点A、B、C均在球场的底线上），沿与AC成45°

的CD方向带球．试问，该球员能否在射线CD上找一点P，使得点P最佳射门点（即∠APB最大）？

若能找到，求出这时点P与点C的距离；

7．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0）、B（5，0），点P是直线y＝x＋1上的一个动点，连接AP．BP．当∠APB最大时，求点P的坐标．

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．

（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：

如果∠APB＝45°

，则称点P为线段AB的“等角点”．显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆．

①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和⊙C的半径；

②y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”？

如果有，求出“等角点”的坐标；

如果没有，请说明理由；

（2）当点P在y轴正半轴上运动时，∠APB是否有最大值？

如果有，说明此时∠APB最大的理由，并求出点P的坐标；

如果没有请说明理由．

9．问题提出

（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=2AD，E为CD的中点，则∠AEB　　∠ACB（填“＞”“＜”“=”）；

问题探究

（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，∠APB最大？

并说明理由；

问题解决

（3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB=6米），下边沿到地面的距离BD=11.6米．如果小刚的睛睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离．

10．1471年，德国数学家米勒提出了雕塑问题：

假定有一个雕塑高AB＝3米，立在一个底座上，底座的高BC＝2.2米，一个人注视着这个雕塑并朝它走去，这个人的水平视线离地1.7米，问此人应站在离雕塑底座多远处，才能使看雕塑的效果最好，所谓看雕塑的效果最好是指看雕塑的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点，如图：

过A、B两点，作一圆与EF相切于点M，你能说明点M为所求的点吗？

并求出此时这个人离雕塑底座的水平距离？

11．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°

（1）证明：

△ABF∽△FCE；

（2）当DE取何值时，∠AED最大．

12．问题发现：

（1）如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°

，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝45°

，则点P与⊙O的位置关系是；

若∠AQB＜45°

，则点Q与⊙O的位置关系是．

问题解决：

如图②、图③所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°

，且AB＝1，AD＝2，点P是BC边上任意一点．

（2）当∠APD＝45°

时，求BP的长度．

（3）是否存在点P，使得∠APD最大？

若存在，请说明理由，并求出BP的长度；

若不存在，也请说明理由．

13．如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=（x＞0）经过点D，连接MD，BD．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；

（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？

参考答案：

1．C

【解析】

【详解】

解：

如图，记过测量可以发现当设点在DE上时，张角最大．

故选C．

2．B

【分析】

根据圆周角大于对应的圆外角可得当的外接圆与轴相切时，有最大值，此时圆心F的横坐标与C点的横坐标相同，并且在经过AB中点且与直线AB垂直的直线上，根据FB=FC列出关于b的方程求解即可.

∵AB=，A（0,2）、B（a,a+2）

∴，

解得a=4或a=-4（因为a>

0，舍去）

∴B（4,6），

设直线AB的解析式为y=kx+2，

将B（4,6）代入可得k=1，所以y=x+2，

利用圆周角大于对应的圆外角得当的外接圆与轴相切时，有最大值.

如下图，G为AB中点，，

设过点G且垂直于AB的直线，

将代入可得，所以.

设圆心，由，可知，解得（已舍去负值）.

故选：

B.

【点睛】

本题考查圆的综合题，一次函数的应用和已知两点坐标，用勾股定理求两点距离.能结合圆的切线和圆周角定理构建图形找到C点的位置是解决此题的关键.

3．

根据题意，找到当⊙P与x轴相切于点C时，最大，作出相应辅助线，可得出，，再由等腰三角形三线合一性质可得，根据切线定理确定四边形PCOH为矩形，最后根据勾股定理即可得出．

过点A、B作⊙P，⊙P与x轴相切于点C时，最大，

连接PA、PB、PC，作PH⊥y轴于H，如图，

∵点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），

∴，，

∵PH⊥AB，

∵点⊙P与x轴相切于点C，

∴PC⊥x轴，

∴四边形PCOH为矩形，

在中，，

∴C点坐标为．

故答案为．

题目主要考查隐圆模型，涉及知识点包括直线与圆的位置关系、等腰三角形性质、勾股定理、矩形的判定和性质等，理解题意，找准当⊙P与x轴相切于点C时，最大，作出相应辅助线是解题关键．

4．

由题意知，∠BDC小于90o，，当⊙O与AM相切时，∠BDC最大，此时AD2=AB·

AC，则AD=2，延长DO交AN于点E，DE=AD=2，设半径为x，OE=2-x，过O点作OH⊥BC，垂足为H，则OH=，BH=，在Rt△OHB中，+=，最后求得半径x=．

当⊙O与AM相切时，∠BDC最大，此时sin∠BDC的值最大，

∵⊙O与AM相切于点D，AB＝1，BC＝3，

∴AD2=AB·

AC，

∴AD=2，

延长DO交AN于点E，过O点作OH⊥BC，垂足为H，连接BO，

∴，

∵，

∴△AED为等腰直角三角形，

∴DE=AD=2，

设⊙O半径为x，则OE=2-x，

∵，

∴，，

在Rt△BOH中，，

即+=，

解得：

，

∵⊙O半径大于0，

∴舍去，

∴x=．

故答案为：

．

本题考查了圆的综合题，熟练掌握切线的性质、圆周角定理和等腰直角三角形的性质、会利用勾股定理计算线段的长是解题关键．

5．能在射线CD上找到一点P，使得点P为最佳射门点，此时点P与点C的距离为10米．

作经过点A、B且和直线CD相切的，切点为点P，此时最大．由切线的性质结合题意可证明为等腰直角三角形．再由，结合等腰三角形“三线合一”即得出，从而可证明，即得出，最后根据CB和CA的长，求出CP即可．

如图，作经过点A、B且和直线CD相切的，切点为点P，此时最大．

∵PC是切线，

∴．

∴为等腰直角三角形．

又∵，即点B为AC中点

∴在和中，，

∴，即

，，

，

故能在射线CD上找到一点P，使得点P为最佳射门点，此时点P与点C的距离为10米．

本题考查切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据题意找出最大时的P点是解答本题的关键．

6．

（1）画图见解析；

（2）画图见解析；

（3）能找到点P，点P与点C的距离为10.

（1）如图，∠ADB即为所求

（2）如图，∠APB即为所求

（3）能找到点P.如图，过AB两点的⊙O与射线CD相切于点P.由

（2）知，此时∠APB

最大，点P为最佳射门点.（或画出正确的示意图）

设⊙O的半径为r，连接OA，OP.

∵EF垂直平分AB，∠C＝45°

，AB＝BC＝ 

∴EC＝

∴∠CFE＝∠C＝45°

，EC＝EF＝

∴CF＝15

∵⊙O与CD相切于点P，∴OP⊥CD.

∴OP＝FP＝r，OF=r.

∴OE＝-r.

在Rt△AOE中，AE2＋OE2＝OA2，

∴（）2＋（-r）2＝r2

∴r＝5或r＝25（舍）.

∴PF＝5. 

∴PC＝FC－PF＝10.

7．（2，3）

过点P作PE⊥l交AB的垂直平分线于点E，根据题意得：

以AB为弦的圆，圆心必过线段AB垂直平分线，可得，从而得到当AE=BE=PE最小时，最大，根据圆周角定理可得到此时∠APB最大，再由PE+BE≥PB，可得PB为圆E的直径时，∠APB最大，然后设直线y＝x＋1交x轴于点D，交x轴于点C，可得到∠PBD=45°

，从而得到∠APB=45°

，即可求解．

如图，过点P作PE⊥l交AB的垂直平分线于点E，

根据题意得：

以AB为弦的圆，圆心必过线段AB垂直平分线，

∵点A（2，0）、B（5，0），

∴AB=3，

∴EF⊥AB，，，

∴当AE=BE=PE最小时，最大，即∠AEF最大，

∴此时∠AEB最大，

∴此时∠APB最大，

∵PE+BE≥PB，

∴当PE+BE=PB时，PE=BE最小，此时点P、B、E三点共线，

∴PB为圆E的直径时，∠APB最大，

设直线y＝x＋1交x轴于点D，交x轴于点C，

当时，，

∴OC=OD=1，

∵∠CO