中考数学专题复习常见模型方法隐圆模型之米勒定理Word文档格式.docx
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4.如图,∠MAN=45°
,B、C为AN上两点,AB=1,BC=3,D为AM上的一个动点,过B、C、D三点作⊙O,当sin∠BDC的值最大时,⊙O的半径为_________
三、解答题
5.如图,已知足球球门宽AB约为5米,一球员从距B点5米的C点(点A、B、C均在球场底线上),沿着与AC成45°
角的CD方向带球.试问,该球员能否在射线CD上找到一点P,使得点P为最佳射门点(即∠APB最大)?
若能找到,求出此时点P到点C的距离;
若找不到,请说明理由.
6.问题探究:
(1)如图①,AB为⊙O的弦,点C是⊙O上的一点,在直线AB上方找一个点D,使得∠ADB=∠ACB,画出∠ADB;
(2)如图②,AB是⊙O的弦,点C是⊙O上的一个点,在过点C的直线l上找一点P,使得∠APB<
∠ACB,画出∠APB;
(3)如图③,已知足球门宽AB约为米,一球员从距B点米的C点(点A、B、C均在球场的底线上),沿与AC成45°
的CD方向带球.试问,该球员能否在射线CD上找一点P,使得点P最佳射门点(即∠APB最大)?
若能找到,求出这时点P与点C的距离;
7.如图,在平面直角坐标系中,点A(2,0)、B(5,0),点P是直线y=x+1上的一个动点,连接AP.BP.当∠APB最大时,求点P的坐标.
8.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A与点B的坐标分别是(1,0),(7,0).
(1)对于坐标平面内的一点P,给出如下定义:
如果∠APB=45°
,则称点P为线段AB的“等角点”.显然,线段AB的“等角点”有无数个,且A、B、P三点共圆.
①设A、B、P三点所在圆的圆心为C,直接写出点C的坐标和⊙C的半径;
②y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”?
如果有,求出“等角点”的坐标;
如果没有,请说明理由;
(2)当点P在y轴正半轴上运动时,∠APB是否有最大值?
如果有,说明此时∠APB最大的理由,并求出点P的坐标;
如果没有请说明理由.
9.问题提出
(1)如图①,在矩形ABCD中,AB=2AD,E为CD的中点,则∠AEB ∠ACB(填“>”“<”“=”);
问题探究
(2)如图②,在正方形ABCD中,P为CD边上的一个动点,当点P位于何处时,∠APB最大?
并说明理由;
问题解决
(3)如图③,在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌,其侧面上、下边沿相距6米(即AB=6米),下边沿到地面的距离BD=11.6米.如果小刚的睛睛距离地面的高度EF为1.6米,他从远处正对广告牌走近时,在P处看广告效果最好(视角最大),请你在图③中找到点P的位置,并计算此时小刚与大楼AD之间的距离.
10.1471年,德国数学家米勒提出了雕塑问题:
假定有一个雕塑高AB=3米,立在一个底座上,底座的高BC=2.2米,一个人注视着这个雕塑并朝它走去,这个人的水平视线离地1.7米,问此人应站在离雕塑底座多远处,才能使看雕塑的效果最好,所谓看雕塑的效果最好是指看雕塑的视角最大,问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点,如图:
过A、B两点,作一圆与EF相切于点M,你能说明点M为所求的点吗?
并求出此时这个人离雕塑底座的水平距离?
11.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点E,F分别是边CD,BC上的动点,且∠AFE=90°
(1)证明:
△ABF∽△FCE;
(2)当DE取何值时,∠AED最大.
12.问题发现:
(1)如图①,点A和点B均在⊙O上,且∠AOB=90°
,点P和点Q均在射线AM上,若∠APB=45°
,则点P与⊙O的位置关系是;
若∠AQB<45°
,则点Q与⊙O的位置关系是.
问题解决:
如图②、图③所示,四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥DC,∠DAB=135°
,且AB=1,AD=2,点P是BC边上任意一点.
(2)当∠APD=45°
时,求BP的长度.
(3)是否存在点P,使得∠APD最大?
若存在,请说明理由,并求出BP的长度;
若不存在,也请说明理由.
13.如图,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1,0),B两点,与y轴交于点C,过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D,作DE⊥x轴,垂足为点E,双曲线y=(x>0)经过点D,连接MD,BD.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点N,F分别是x轴,y轴上的两点,当以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时,求出点N,F的坐标;
(3)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动,运动时间为t秒,当t为何值时,∠BPD的度数最大?
参考答案:
1.C
【解析】
【详解】
解:
如图,记过测量可以发现当设点在DE上时,张角最大.
故选C.
2.B
【分析】
根据圆周角大于对应的圆外角可得当的外接圆与轴相切时,有最大值,此时圆心F的横坐标与C点的横坐标相同,并且在经过AB中点且与直线AB垂直的直线上,根据FB=FC列出关于b的方程求解即可.
∵AB=,A(0,2)、B(a,a+2)
∴,
解得a=4或a=-4(因为a>
0,舍去)
∴B(4,6),
设直线AB的解析式为y=kx+2,
将B(4,6)代入可得k=1,所以y=x+2,
利用圆周角大于对应的圆外角得当的外接圆与轴相切时,有最大值.
如下图,G为AB中点,,
设过点G且垂直于AB的直线,
将代入可得,所以.
设圆心,由,可知,解得(已舍去负值).
故选:
B.
【点睛】
本题考查圆的综合题,一次函数的应用和已知两点坐标,用勾股定理求两点距离.能结合圆的切线和圆周角定理构建图形找到C点的位置是解决此题的关键.
3.
根据题意,找到当⊙P与x轴相切于点C时,最大,作出相应辅助线,可得出,,再由等腰三角形三线合一性质可得,根据切线定理确定四边形PCOH为矩形,最后根据勾股定理即可得出.
过点A、B作⊙P,⊙P与x轴相切于点C时,最大,
连接PA、PB、PC,作PH⊥y轴于H,如图,
∵点A、B的坐标分别是(0,1)、(0,3),
∴,,
∵PH⊥AB,
∵点⊙P与x轴相切于点C,
∴PC⊥x轴,
∴四边形PCOH为矩形,
在中,,
∴C点坐标为.
故答案为.
题目主要考查隐圆模型,涉及知识点包括直线与圆的位置关系、等腰三角形性质、勾股定理、矩形的判定和性质等,理解题意,找准当⊙P与x轴相切于点C时,最大,作出相应辅助线是解题关键.
4.
由题意知,∠BDC小于90o,,当⊙O与AM相切时,∠BDC最大,此时AD2=AB·
AC,则AD=2,延长DO交AN于点E,DE=AD=2,设半径为x,OE=2-x,过O点作OH⊥BC,垂足为H,则OH=,BH=,在Rt△OHB中,+=,最后求得半径x=.
当⊙O与AM相切时,∠BDC最大,此时sin∠BDC的值最大,
∵⊙O与AM相切于点D,AB=1,BC=3,
∴AD2=AB·
AC,
∴AD=2,
延长DO交AN于点E,过O点作OH⊥BC,垂足为H,连接BO,
∴,
∵,
∴△AED为等腰直角三角形,
∴DE=AD=2,
设⊙O半径为x,则OE=2-x,
∵,
∴,,
在Rt△BOH中,,
即+=,
解得:
,
∵⊙O半径大于0,
∴舍去,
∴x=.
故答案为:
.
本题考查了圆的综合题,熟练掌握切线的性质、圆周角定理和等腰直角三角形的性质、会利用勾股定理计算线段的长是解题关键.
5.能在射线CD上找到一点P,使得点P为最佳射门点,此时点P与点C的距离为10米.
作经过点A、B且和直线CD相切的,切点为点P,此时最大.由切线的性质结合题意可证明为等腰直角三角形.再由,结合等腰三角形“三线合一”即得出,从而可证明,即得出,最后根据CB和CA的长,求出CP即可.
如图,作经过点A、B且和直线CD相切的,切点为点P,此时最大.
∵PC是切线,
∴.
∴为等腰直角三角形.
又∵,即点B为AC中点
∴在和中,,
∴,即
,,
,
故能在射线CD上找到一点P,使得点P为最佳射门点,此时点P与点C的距离为10米.
本题考查切线的性质,等腰直角三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质.根据题意找出最大时的P点是解答本题的关键.
6.
(1)画图见解析;
(2)画图见解析;
(3)能找到点P,点P与点C的距离为10.
(1)如图,∠ADB即为所求
(2)如图,∠APB即为所求
(3)能找到点P.如图,过AB两点的⊙O与射线CD相切于点P.由
(2)知,此时∠APB
最大,点P为最佳射门点.(或画出正确的示意图)
设⊙O的半径为r,连接OA,OP.
∵EF垂直平分AB,∠C=45°
,AB=BC=
∴EC=
∴∠CFE=∠C=45°
,EC=EF=
∴CF=15
∵⊙O与CD相切于点P,∴OP⊥CD.
∴OP=FP=r,OF=r.
∴OE=-r.
在Rt△AOE中,AE2+OE2=OA2,
∴()2+(-r)2=r2
∴r=5或r=25(舍).
∴PF=5.
∴PC=FC-PF=10.
7.(2,3)
过点P作PE⊥l交AB的垂直平分线于点E,根据题意得:
以AB为弦的圆,圆心必过线段AB垂直平分线,可得,从而得到当AE=BE=PE最小时,最大,根据圆周角定理可得到此时∠APB最大,再由PE+BE≥PB,可得PB为圆E的直径时,∠APB最大,然后设直线y=x+1交x轴于点D,交x轴于点C,可得到∠PBD=45°
,从而得到∠APB=45°
,即可求解.
如图,过点P作PE⊥l交AB的垂直平分线于点E,
根据题意得:
以AB为弦的圆,圆心必过线段AB垂直平分线,
∵点A(2,0)、B(5,0),
∴AB=3,
∴EF⊥AB,,,
∴当AE=BE=PE最小时,最大,即∠AEF最大,
∴此时∠AEB最大,
∴此时∠APB最大,
∵PE+BE≥PB,
∴当PE+BE=PB时,PE=BE最小,此时点P、B、E三点共线,
∴PB为圆E的直径时,∠APB最大,
设直线y=x+1交x轴于点D,交x轴于点C,
当时,,
∴OC=OD=1,
∵∠CO