全等三角形的经典模型Word下载.docx
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⑵常见辅助线为作高，禾U用三线合一的性质解决问题•如图2；
⑶补全为正方形.如图3,4.
已知：
如图所示，Rt△ABC中，AB=AC,BAC90°
O为BC的中点,
⑴写出点O到厶ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）
⑵如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.试判断△OMN的形状，并证明你的结论.
⑶如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明.
证明：
•••/BAC=90°
AB=AC,O为BC中点•••/BAO=/OAC=ZABC=ZACB=45°
•••AO=BO=OC,
•••在△ANO和厶CMO中，
ANCM
BAOC
AOCO
•△ANO也厶CMO（SAS）
•ON=OM,/AON=ZCOM,又•••/COM/AOM=90°
,
•△OMN为等腰直角三角形.
两个全等的含30°
60°
角的三角板ADE和三角板ABC，女口图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M,连接ME,MC•试判断△EMC的形状，并说明理由.
【解析】△EMC是等腰直角三角形
连接AM•由题意，得
DEAC,DAEBAC90°
DAB900
:
.△DAB为等腰直角三角形•
•••DMMB,
•••MAMBDM,MDAMAB45°
.
•••MDEMAC105°
•△EDM△CAM.
•EMMC,DMEAMC.
又EMCEMAAMCEMADME90°
•CMEM,
•△EMC是等腰直角三角形.
【例3】已知：
如图，△ABC中，ABAC,BAC点，AFBD于E，交BC于F，连接DF.求证：
ADBCDF.
12
ABAC
3C
•△ABM◎△CAF.•AMCF.
在△ADM和△CDF中，
ADCD
DAMC
AMCF
•△ADM◎△CDF.
•ADBCDF.
证法二：
如图，作CMAC交AF的延长线于M.
TAFBD,•3290°
BAC90°
•1290°
•13.
在△ACM和△BAD中，
13
ACAB
ACMBAD90°
•••△ACM◎△BAD.
二MADB,ADCM
•/ADDC,•CMCD.
在△CMF和△CDF中，
CFCF
MCFDCF45°
CMCD
•△CMF◎△CDF.•MCDF
•-ADBCDF.
【例4】如图，等腰直角△ABC中，ACBC,ACB90°
P为△ABC内部一点，满足
【解析】补全正方形ACBD，连接DP,
BAD45,
易证△ADP是等边三角形，DAP60,
BAP15,PAC30,•ACP75,
BCP15
【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型
在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰
直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易
的效果，从而顺利地求解。
例4为求角度的应用，其他应用探究如下：
【探究一】证角等
【备选1】如图，Rt△ABC中，/BAC=90°
AB=AC,M为AC中点，连结BM,作AD丄BM交BC于点D，连结DM，求证：
/AMB=/CMD.
【解析】作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BFC，延长AD交CF于点N,
•/AN丄BM，由正方形的性质，可得AN=BM,
易证Rt△ABM也RtACAN,/-ZAMB=ZCND,CN=AM,
•/M为AC中点，/•CM=CN,
•/Z1=Z2,可证得△CMD◎△CND,
•••ZCND=ZCMD,
•••ZAMB=ZCMD.
【探究二】判定三角形形状
【备选2】如图，Rt△ABC中，ZBAC=90°
AB=AC,AD=CE,AN丄BD于点M，延长BD交NE的延长线于点F，试判定厶DEF的形状.
【解析】作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BHC,可知四边形ABHC为正方形，延长AN交HC于点K,
•/AK丄BD，可知AK=BD，易证：
Rt△ABD也Rt△CAK,
•ZADB=ZCKN,CK=AD,
•/AD=EC,•CK=CE,
易证△CKN◎△CEN,/ZCKN=ZCEN,易证ZEDF=ZDEF,DEF为等腰三角形.
【探究三】利用等积变形求面积
【备选3】如图，Rt△ABC中，ZA=90°
AB=AC,D为BC上一点，DE//AC,DF//AB,且BE=4,CF=3，求S矩形dfae.
【解析】作等腰Rt△ABC关于BC的对称的等腰可知四边形ABGC为正方形，分别延长
可知DN=EB=4，DM=FC=3，
由正方形对称性质，
可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DMDN=34=12.
【探究四】求线段长
【备选4】如图，△ABC中，AD丄BC于点D，/BAC=45°
BD=3,CD=2,求AD的长.
【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽
管已知条件不是等腰直角三角形，但•••/BAC=45°
若分别以AB、AC为对称轴作
Rt△ADB的对称直角三角形和Rt△ADC的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90°
的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形.
【解析】以AB为轴作RtAADB的对称的Rt△AEB，再以AC为轴作Rt△ADC的对称的Rt△AFC.
可知BE=BD=3,FC=CD=2,
延长EB、FC交点G,•••/BAC=45°
由对称性，可得/EAF=90°
且AE=AD=AF,
易证四边形AFGE为正方形，且边长等于AD,
设AD=x,贝UBG=x—3,CG=x—2,
在Rt△BCG中，由勾股定理，得x2x352,
解得x=6,即AD=6.
【探究五】求最小值
的动点，求PM+PC的最小值.
常见三垂直模型
【引例】已知AB丄BD,ED丄BD,AB=CD,BC=DE，⑴求证：
AC丄CE;
⑵若将△CDE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形，ABC1D,
其余条件不变，试判断AC丄CiE这一结论是否成立？
若成立，给予证
①
【解析】⑴IAB丄BD,ED丄BD
•BD90在厶ABC与△CDE中
ABCD
BD
BCDE
•△ABCCDE（SAS）
•••1E
•••2E90
•ACE90,即AC丄CE
只要证明
⑵图①②③④四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似,
△ABC◎△GDE
ACBCiED
•••AC丄CiE
【例5】正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为0,10,8,4，点C在第一象限.求
正方形边长及顶点C的坐标.（计算应用：
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）
x
【解析】过点C作CG丄x轴于G,过B作BE丄y轴于E,并反向延长交CG于F
点A、B的坐标分别为0,10,8,4
•••BE=8，AE=6，•••AB=10
•••四边形ABCD是正方形，•AB=BC
13902390
•12
•/AEBBFC90
•△AEB◎△BFC
•CF=BE=8,BF=AE=6
•CG=12EF=14
•C（14,12），正方形的边长为10
【点评】此题中三垂直模型:
【例6】
如图所示，在直角梯形ABCD中，
AD//BC,ABBC,E是AB的中点,⑴求证：
BEAD;
⑵求证：
AC是线段ED的垂直平分线;
⑶△DBC是等腰三角形吗？
请说明理由.
【解析】⑴••
ABC90,BDEC,
•ECBDBC90,ABD
DBC
90,•ECB
ABD,
•/ABCDAB90,ABBC
•△BAD也厶CBE,•AD
BE.
⑵••
-E是AB中点，•EBEA由⑴得：
ADBE,•AE
AD
•/AD//BC,•CAD
ACB
45,
BAC45,•BAC
DAC
由等腰三角形的性质，得：
EM
MD,
AMDE
即AC是线段ED的垂直平分线.
⑶△DBC是等腰三角形，CDBD
由⑵得：
CDCE，由⑴得：
CEBD•CDBD,•△DBC是等腰三角形.
［醯彈突號J
【例7】⑴如图〔，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，连接AE、CD相交于点P.请你补全图形，并直接写出/APD的度数=;
⑵如图2,Rt△ABC中，/B=90°
M、N分别是AB、BC上的点，且AM=BC、BM=CN,连接AN、CM相交于点P.请你猜想/
EC//AN.
APMECM45.
如图，△abc中，AC=BC,
1
长线于E,并且AE2BD，求证:
延长AE交BC的延长线于F
•/BE丄AF,ACB90FACDBC
•••在厶AFC和厶BDC中，
FACDBC
ACBC
ACFBCD
•△AFC也△BDC（ASA）•AF=BD
口1
又•••AE-BD
2
-AEAFEF
•••BE是AF的中垂线•••BA=BF
•••BD平分ABC
训练2.已知，在正方形ABCD中，E在BD上，DG丄CE于G,DG交AC于F.求证：
OE=OF
•OE=OF
•△BDH也厶ADF（ASA）
•DH=DF
EF=EC,DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长.【解析】在Rt△AEF和Rt△DEC中，•/EF丄CE,FEC=
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