专题由递推关系求数列的通项公式含答案Word格式.docx
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n2
评注在运用ansn
sn1时要注意条件n
2，对n=1要验证。
2、累加法：
利用恒等式ana1
a2a1
+......+
an
an1求通项公式的方法叫累加法。
它是求型如
an1
an+fn
的递推数列的方法（其中数列
f
n
的前n项和可求）。
例2已知数列{
an}中a1
1
an+
，求数列{an}的通项公式
，an1
2
+3n
评注
此类问题关键累加可消中间项，而
f（n）可求和则易得an
3、.累乘法：
利用恒等式ana1a2
a3
an0求通项公式的方法叫累乘法。
a1
a2
gnan的递推数列的方法
数列
gn
可求前n项积
例3已知数列{an}中sn1nan，求数列{an}的通项公式
此类问题关键是化
gn，且式子右边累乘时可求积，而左边中间项可消。
4、转化法：
通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。
常用的转化途径有：
⑴凑配、消项变换
——如将一阶线性递推公式
qan
d（q,d
为常数，q0,q
1）通过凑配变成
d
an2
qan
=q
q1
，或消常数项转化为
q
例4、已知数列{
}中，a1
1，a
2a
1n
2，求数列{
点评：
此类问题关键是利用配凑或消项变换将其转化为等比数列
（）倒数变换——如将一阶分式递推公式
a
can
（c,d为非零常数）取倒数得
c
例5
已知数列{an}中，a1
1，an1
，求数列{an
2an1
此类问题关键是取倒数使其转化为一阶线性递推数列然后可用凑配、消项变换。
⑶对数变换——如将一阶分式递推公式an1canpan0,c0,p0,p1取对数
可得
lgan1
plgan
lgc
例6
已知数列{an
10，an
，且an1
10an2
此类问题关键是取对数使其转化为关于
an的对数的一阶线性递推数列即可用凑配、消项变换
⑷换元变换——如将一阶分式递推公式
dn（q,d为非零常数，q≠1，d≠1）
an
变换成
dn
d，令bn
dn
，则转化为一阶线性递推公式
dn1
例7在数列{an
}中，a11，an1
3an+2n
N*
评注：
此类问题关键是通过换元将其转化为一阶线性递推公式
5、待定系数法
递推公式为
pan1
qan（其中p，q均为常数）。
解法：
先把原递推公式转化为
san1
t（an1san）
st
p
其中s，t满足
，再应用前面转化法（4）类型的方法求解。
st
例8.已知数列an
中，a11,a22,an2
，求an。
3
7、叠代法
例9已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an
（1）n,n1．求数列an的通项公式。
8、归纳法：
由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法。
例10数列{an}满足sn2nannN*,求数列{an}的通项公式
四、实战演练
a52＝a10,2（an＋an＋2）＝5an＋1，则数列{an}的通项公
1、[2012辽·
宁卷]已知等比数列{an}为递增数列，且
式为an＝________.
2、
在数列{an}中，a13
，求通项公式an.
an1an
n（n
1）
3、设数列{an}是首项为
1的正项数列，且（n1）an1nan
an1an0（n=1,2,3⋯），则它的通
项公式是an=▁▁▁
4、已知数列{an}，其中a11,a22，且当n≥3时，an2an1an21，求通项公式an。
5、设正数列a0，a1，an⋯，an，⋯满足anan2an1an2=2an1（n2）且a0a11，
求{an}的通项公式.
五、能力提升
（逆推法）已知数列
an的前n项和Sn与an满足：
an,Sn,Sn
1（n
2）成等比数列，且a1
1，求数列
an的前n项和Sn
本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列an的前n项和Sn的递
推公式，是一种最佳解法
由递推关系求数列的通项公式答案
例1解：
当n
2由an
sn
sn1=n2+2-n1+2=2n1
当n
1时a1
s1
3不满足
故an
3,n
2n
1,n
例2解：
由a
a+
可知a
n2
3n2n
nn2+3n2
a1+......
+na
na1=
+
......
=
4
1时也成立。
故有an=
例3
解：
当n=1时由a1
可得a1
由an1
sn1
sn=1n1an1
1nan可得
ana1
a2a3
an=1123
n2n1=
a1a2
2345
nn1
当n=1时也成立。
nn
例4解法一
凑配变换：
由an
1可得a
12a
1，又a
2，故数列
1是首项
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