专题由递推关系求数列的通项公式含答案Word格式.docx

1、n 2评注 在运用 an snsn 1 时要注意条件 n2 ，对 n=1 要验证。2、累加法：利用恒等式 an a1a2 a1+.+anan 1 求通项公式的方法叫累加法。它是求型如an 1an +f n的递推数列的方法（其中数列fn的前 n 项和可求）。例2已知数列an 中 a11an +，求数列 an 的通项公式， an 12+3n评注此类问题关键累加可消中间项，而f （ n）可求和则易得 an3 、 . 累乘法 ：利用恒等式 an a1 a2a3an 0 求通项公式的方法叫累乘法。a1a2g n an 的递推数列的方法数列g n可求前 n项积例 3 已知数列 an 中 sn 1 nan

2、，求数列 an 的通项公式此类问题关键是化g n ，且式子右边累乘时可求积，而左边中间项可消。4、转化法 ：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。常用的转化途径有：凑配、消项变换如将一阶线性递推公式qand （ q, d为常数， q 0, q1 ）通过凑配变成dan 2q an= qq 1，或消常数项转化为q例 4、已知数列 中， a11， a2a1 n2 ，求数列 点评： 此类问题关键是利用配凑或消项变换将其转化为等比数列（ ）倒数变换 如将一阶分式递推公式acan（ c,d 为非零常数）取倒数得c例 5已知数列 an 中， a11，

3、 an 1，求数列 an2an 1 此类问题关键是取倒数使其转化为一阶线性递推数列然后可用凑配、消项变换。对数变换 如将一阶分式递推公式 an 1 canp an 0,c 0, p 0, p 1 取对数可得lg an 1p lg anlg c例 6已知数列 an10 ， an，且 an 110an2 此类问题关键是取对数使其转化为关于an 的对数的一阶线性递推数列即可用凑配、消项变换换元变换 如将一阶分式递推公式d n （ q,d 为非零常数， q 1， d 1）a n变换成dnd ，令 bnd n，则转化为一阶线性递推公式d n 1例 7 在数列 an 中， a1 1 ， an 13an +

4、2 nN *评注： 此类问题关键是通过换元将其转化为一阶线性递推公式5、待定系数法递推公式为pan 1qan （其中 p，q 均为常数）。解法：先把原递推公式转化为san 1t（ an 1 san ）s tp其中 s， t 满足，再应用前面 转化法（ 4）类型的方法求解。st例 8 . 已知数列 an中， a1 1, a2 2 , an 2，求 an 。37、叠代法例 9 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn 2an （ 1） n , n 1 求数列 an 的通项公式。8、归纳法 ：由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法。例 1

5、0 数列 an 满足 sn 2n an n N * ,求数列 an 的通项公式四、实战演练a52 a10,2（an an 2） 5an 1，则数列 an 的通项公1、 2012 辽宁卷 已知等比数列 an 为递增数列，且式为 an _.2、在数列 an 中， a1 3，求通项公式 an ., an 1 ann（n1）3、设数列 an 是首项为1 的正项数列，且 （n 1） an 1nanan 1an 0 （ n=1,2,3 ），则它的通项公式是 an =4、已知数列 an ，其中 a1 1, a2 2 ，且当 n 3 时， an 2an 1 an 2 1 ，求通项公式 an 。5、设正数列 a

6、0 ， a1 ， an ， an ，满足 an an 2 an 1 an 2 = 2an 1 （ n 2） 且 a0 a1 1，求 an 的通项公式 .五、能力提升（逆推法） 已知数列an 的前 n 项和 Sn 与 an 满足： an , Sn ,Sn1 （n2） 成等比数列， 且 a11 ，求数列an 的前 n 项和 Sn 本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列 an 的前 n 项和 Sn 的递推公式，是一种最佳解法由递推关系求数列的通项公式答案例 1 解： 当 n2 由 ansnsn 1 = n2 +2- n 1 +2 = 2n 1当 n1 时 a1s13 不满足故 an3,n2n1,n例 2 解：由 aa +可知 an23n 2 nn n2 +3n 2a1 +.+nana 1=+.=41 时也成立。故有 an =例 3解：当 n=1 时 由 a1可得 a1由 an 1sn 1sn = 1 n 1 an 11 nan 可得an a1a2 a3an = 1 1 2 3n 2 n 1 =a1 a22345n n 1当 n=1 时也成立。n n例4解法一凑配变换 ：由 an1 可得 a1 2 a1 ，又 a2 ，故数列1 是首项