二次函数恒成立问题学生版Word格式.docx

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类型4：

二、恒成立问题常见的解题策略：

一：

利用二次函数的判别式

对于一元二次函数

有：

例1.若不等式

的解集是R，求m的范围。

解析：

要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。

（1）当m-1=0时，元不等式化为2>

0恒成立，满足题意；

时，只需

，所以，

二:

利用函数的最值（或值域）

对任意x都成立

简单计作：

“大的大于最大的，小的小于最小的”。

由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。

例2.已知

，若

恒成立，求a的取值范围.

解析本题可以化归为求函数f（x）在闭区间上的最值问题,只要对于任意

.若

恒成立

或

，即a的取值范围为

.

三：

利用零点分布

例3.已知

解析本题可以考虑f（x）的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或

，即a的取值范围为[-7，2].

点评对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x轴的上方或在x轴上就行了.

变式：

，当

恒成立，求实数

的取值范围。

四：

分离参数法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。

这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。

一般地有：

1）

2）

例4.函数

，若对任意

解：

若对任意

恒成立，

即对

考虑到不等式的分母

，只需

在

时恒成立而得

时恒成立，只要

时恒成立。

而易求得二次函数

上的最大值为

，所以

已知函数

时

五：

确定主元

在给出的含有两个变量的不等式中，习惯把变量

看成是主元（未知数），而把另一个变量

看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。

如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。

例5.若不等式

对满足

的所有

都成立，求x的范围。

我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：

，；

令

，则

恒成立，所以只需

即

，所以x的范围是

总结：

利用了一次函数

对任意

，不等式

恒成立，求

六：

消元转化

例6.已知f（x）是定义在[-1,1]上的奇函数,且f

（1）=1,若

对于所有的

恒成立，求实数t的取值范围.

解析 

本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f（x）是定义在[-1,1]上的增函数,故f（x）在[-1,1]上的最大值为f

（1）=1,则

恒成立，即

恒成立，令

，只要

．

3、巩固练习

1.

（1）若关于

的不等式

的解集为

，求实数

的取值范围；

（2）若关于

的解集不是空集，求实数

的取值范围．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2.若函数

在R上恒成立，求m的取值范围。

要使

在R上恒成立，即

在R上

恒成立。

成立

由

可知，

3.已知向量

若函数

在区间

上是增函数，求t的取值范围.

4.已知函数

，其中

是

的导函数.对满足

的一切

的值，都有

5.若对任意的实数

解法一：

原不等式化为

，即

上恒大于0。

⑴若

，要使

不存在

⑵若

，若使

⑶若

6.已知函数

对于一切

成立，求a的取值范围。

7.已知函数

对于

恒成立，，求m的取值范围。

8.若不等式

内恒成立，求a的取值范围。

9.已知函数

的定义域为R，求实数

10.已知函数

恒有

，试确定

11.已知

时，不等式