高中数学人教a版选修41 第二讲 直线与圆的位置关系 10含答案Word文档格式.docx

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PB，即42＝2×

PB，

∴PB＝8，∴AB＝PB－PA＝6，

∴OT＝r＝3，PO＝PA＋r＝5，

∴cos∠BPT＝＝.

【答案】　A

3．如图2518，⊙O的直径CD与弦AB交于P点，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，则⊙O的半径为（　　）

图2518

A．5.5B．5

C．6D．6.5

【解析】　由相交弦定理知AP·

BP＝CP·

PD，

∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，

∴PD＝＝＝8，

∴CD＝3＋8＝11，∴⊙O的半径为5.5.

4．如图2519，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AC＝4，BC＝3.以BC上一点O为圆心作⊙O与AC，AB都相切，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为（　　）【07370047】

图2519

A．1　　B.　　

C.　　D.

【解析】　观察图形，AC与⊙O切于点C，AB与⊙O切于点E，则AB＝＝5.

如图，连接OE，由切线长定理得AE＝AC＝4，

故BE＝AB－AE＝5－4＝1.

根据切割线定理得BD·

BC＝BE2，

即3BD＝1，故BD＝.

【答案】　C

5.如图2520，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：

图2520

①AD＋AE＝AB＋BC＋AC；

②AF·

AG＝AD·

AE；

③△AFB∽△ADG.

其中正确结论的序号是（　　）

A．①②B．②③

C．①③D．①②③

【解析】　①项，∵BD＝BF，CE＝CF，∴AD＋AE＝AC＋CE＋AB＋BD＝AC＋AB＋CF＋BF＝AC＋AB＋BC，故①正确；

②项，∵AD＝AE，AD2＝AF·

AG，∴AF·

AE，故②正确；

③项，延长AD于M，连接FD，∵AD与圆O切于点D，则∠GDM＝∠GFD，

∴∠ADG＝∠AFD≠∠AFB，则△AFB与△ADG不相似，故③错误，故选A.

二、填空题

6．如图2521，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线交于D，过点C作BD的平行线与圆交于点E，与AB交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则CD＝________.

图2521

【解析】　因为AF·

BF＝EF·

CF，解得CF＝2，由CE∥BD，得＝，所以＝，即BD＝.设CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝，所以x＝.

【答案】　

7．如图2522，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________，AB＝________.

图2522

【解析】　由于PD∶DB＝9∶16，设PD＝9a，则DB＝16a.

根据切割线定理有PA2＝PD·

PB.又PA＝3，PB＝25a，

∴9＝9a·

25a，∴a＝，∴PD＝，PB＝5.

在Rt△PAB中，AB2＝PB2－AP2＝25－9＝16，故AB＝4.

【答案】　　4

8．如图2523所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．

图2523

【解析】　设⊙O的半径为r（r>

0），∵PA＝1，AB＝2，

∴PB＝PA＋AB＝3.

延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.

设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.

由圆的割线定理知，PA·

PB＝PD·

PC，

∴1×

3＝（3－r）（3＋r），

∴9－r2＝3，∴r＝.

三、解答题

9．（2016·

山西四校联考）如图2524所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA＝10，PB＝5，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.

图2524

（1）求证：

＝；

（2）求AD·

AE的值．

【解】　

（1）证明：

∵PA为圆O的切线，∴∠PAB＝∠ACP.又∠P为公共角，

△PAB∽△PCA，∴＝.

（2）∵PA为圆O的切线，PC是过点O的割线，

∴PA2＝PB·

PC，∴PC＝20，BC＝15.

又∵∠CAB＝90°

，∴AC2＋AB2＝BC2＝225.

又由

（1）知＝＝，∴AC＝6，AB＝3，连接EC，则∠CAE＝∠EAB，∠AEC＝∠ABD.

∴△ACE∽△ADB，∴＝.

∴AD·

AE＝AB·

AC＝3×

6＝90.

10．如图2525，已知PA，PB切⊙O于A，B两点，PO＝4cm，∠APB＝60°

，求阴影部分的周长．

图2525

【解】　如图所示，连接OA，OB.

∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，

∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝，

∠APO＝∠APB＝，

在Rt△PAO中，

AP＝PO·

cos＝4×

＝2（cm），

OA＝PO＝2（cm），PB＝2（cm）．

∵∠APO＝，∠PAO＝∠PBO＝，∴∠AOB＝，

∴l＝∠AOB·

R＝×

2＝π（cm），

∴阴影部分的周长为

PA＋PB＋l＝2＋2＋π＝（cm）．

[能力提升]

1．如图2526，已知PT切⊙O于点T，TC是⊙O的直径，割线PBA交TC于点D，交⊙O于B，A（B在PD上），DA＝3，DB＝4，DC＝2，则PB等于（　　）

【07370048】

图2526

A．20　　B．10

C．5D．8

【解析】　∵DA＝3，DB＝4，DC＝2，

由相交弦定理得DB·

DA＝DC·

DT，

即DT＝＝＝6.

因为TC为⊙O的直径，所以PT⊥DT.

设PB＝x，

则在Rt△PDT中，

PT2＝PD2－DT2＝（4＋x）2－36.

由切割线定理得PT2＝PB·

PA＝x（x＋7），

所以（4＋x）2－36＝x（x＋7），

解得x＝20，即PB＝20.

2．如图2527，△ABC中，∠C＝90°

，⊙O的直径CE在BC上，且与AB相切于D点，若CO∶OB＝1∶3，AD＝2，则BE等于（　　）

图2527

A.B．2

C．2D．1

【解析】　连接OD，

则OD⊥BD，

∴Rt△BOD∽Rt△BAC，

∴＝.

设⊙O的半径为a，

∵OC∶OB＝1∶3，OE＝OC，

∴BE＝EC＝2a.

由题知AD，AC均为⊙O的切线，AD＝2，

∴AC＝2.

∴＝，∴BD＝2a2.

又BD2＝BE·

BC，

∴BD2＝2a·

4a＝8a2，

∴4a4＝8a2，∴a＝，

∴BE＝2a＝2.

3．如图2528，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF＝12，PD＝4，则圆O的半径长为__________，∠EFD的度数为__________．

图2528

【解析】　由切割线定理得，

PD2＝PE·

PF，

∴PE＝＝＝4，EF＝8，OD＝4.

∵OD⊥PD，OD＝PO，

∴∠P＝30°

，∠POD＝60°

，

∴∠EFD＝30°

.

【答案】　4　30°

4．如图2529，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.

图2529

（1）若D为AC的中点，证明：

DE是⊙O的切线；

（2）若OA＝CE，求∠ACB的大小．

如图，连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB.

在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.

连接OE，则∠OBE＝∠OEB.

又∠ACB＋∠ABC＝90°

所以∠DEC＋∠OEB＝90°

故∠OED＝90°

，即DE是⊙O的切线．

（2）设CE＝1，AE＝x.

由已知得AB＝2，BE＝.

由射影定理可得AE2＝CE·

BE，

即x2＝，即x4＋x2－12＝0，

解得x＝，所以∠ACB＝60°