数学用Matlab学习线性代数线性方程组与矩阵代数文档格式.docx
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(3)(4)中无相等的
2.令n=200,并使用命令
A=floor(10*rand(n));
b=sum(A’)’
z=ones(n,1);
注释:
(n行一列全为1的矩阵)
生成一个矩阵和两个中的向量,它们的元素均为整数。
(因为矩阵和向量都很大,我们添加分号来控制输出。
(1)方程组的真解应为。
为什么?
【A中的每一行的元素之和正好等于对应b的每一列,故z为其一解,又det不等于0,RA=RAb=n,故z为其解】试说明,可在Matlab中利用”\”运算或计算,然后用计算来求解。
比较这两种计算方法的速度和精度。
我们将使用Matlab命令tic和toc来测量每一个计算过程消耗的时间。
只需要用下面的命令:
tic,x=A\b;
toc
tic,y=inv(A)*b;
toc
哪一种方法更快?
tic,x=A\b;
更快!
为了比较这两种方法的精度,可以测量求得的解x和y与真解z接近的程度。
利用下面的命令:
max(abs(x-z))
max(abs(y-z))
哪种方法的到的解更精确?
>
max(abs(x-z))=4.0168e-013更精确!
max(abs(y-z))=6.1107e-013
(2)用n=500和n=1000替换
(1)中的。
如
(1)结果一样!
3.令A=floor(10*rand(6))。
根据构造,矩阵A将有整数元。
将矩阵A的第六列更改,使得矩阵A为奇异的。
令
B=A’,A(:
6)=-sum(B(1:
5,:
))’
(1)设x=ones(6,1),并利用Matlab计算Ax。
为什么我们知道A必为奇异的?
【因化简列,————>
列成比例】试说明。
通过化为行最简形来判断A是奇异的。
(2)令B=x*[1:
6],乘积AB应为零矩阵。
【因A的每一行的前五个元素之和等于第六个元素的相反数,且在A上的每一行的元素同乘以相同的数,则仍等于0】试说明。
用Matlab的*运算计算AB进行验证。
(3)令C=floor(10*rand(6))和D=B+C,尽管,但乘积AC和AD是相等的。
试说明。
计算A*C和A*D,并验证它们确实相等。
【此处B为令B=x*[1:
6];
A为A(:
))’】
由于A*B=0;
故AC=AD;
A(B+C)=AB+AC;
4.采用如下方式构造一个矩阵。
B=eye(10)-triu(ones(10),1),参见最后附表二:
为什么我们知道B必为非奇异的?
【上三角矩阵的行列式的值等于对角线上的元素相乘】
令C=inv(B)且x=C(:
10),
现在用B(10,1)=-1/256将B进行微小改变。
利用Matlab计算乘积Bx。
由这个计算结果,你可以得出关于新矩阵B的什么结论?
【化简此时B,得行最简式,RB=9<
10,可以得出B的第10列(从1—9行)与x互为相反数,且都是2的指数幂数,且第十行为0,】它是否为奇异的?
【是】试说明。
用Matlab计算它的行最简形。
5.生成一个矩阵A:
A=floor(20*rand(6))
并生成一个向量b:
B=floor(20*rand(6,1))-10
(1)因为A是随机生成的,我们可以认为它是非奇异的。
那么方程组应有唯一解。
用运算“\”求解。
用Matlab计算[Ab]的行最简形U。
比较U的最后一列和解x,结果是什么?
【相等】在精确算术运算时,它们应当是相等的。
【行最简式中可写出对应元素的实际含义,对应处的未知元就等于最后的数】试说明。
为比较他们两个,计算差U(:
7)-x或用formatlong考虑它们。
(2)现在改变A,试它成为奇异的。
令A(:
3)=A(:
1:
2)*[43]’【第一列乘以4加上第二列乘以3替换到第三列上】,利用Matlab计算rref([Ab])。
方程组有多少组解?
【无解】试说明。
【RA<
R[AB]】
(3)令y=floor(20*rand(6,1))-10且c=A*y,为什么我们知道方程组Ax=c必为相容?
的?
【x此时必有一解y,故为相容的】试说明。
计算[Ac]的行最简形U。
【无穷多解】试说明。
【RA=RAc<
6】
(4)由行最简形确定的自由变量应为。
通过考察矩阵U对应的方程组,可以求得时所对应的解。
将这个解作为列向量输入Matlab中。
为检验,计算剩余向量。
(5)令。
矩阵U应对应于的行最简形。
用求自变量时齐次线性方程组的解(手工计算),并将你的结果输入为向量Z。
用A*Z检验你的结论。
(6)令。
向量v应为方程组的解。
用Matlab计算剩余向量来验证v为方程组的解。
在这个解中,自由变量的取值是什么?
【=3】如何使用向量w和z来求所有可能的方程组的解?
【v=w+n*z,其中n为任意实数】试说明。
6.考虑下图:
(1)确定图的邻接矩阵A,将其输入Matlab;
(2)计算A2并确定长度为2的路的条数【72】,其起止点分别为:
【A^2+A
中的数值之和,数字表示有几种路径,具体看程序】
(3)计算A4、A6、A8并回答
(2)中各种情况长度为4、【368】6、【2362】8、【15800】的路的条数。
试推测什么时候从顶点Vi到Vj没有长度为偶数【即为0】的路。
【i=1,j=6;
i=2,j=5;
i=3,j=6或8;
i=4,j=7;
i=5,j=8;
i=6,j=1或3;
i=7,j=4;
i=8,j=3或6;
】
(4)计算A3、A5、A7并回答
(2)中各情况长度为3、【154】5、【922】7【6098】的路的条数。
你由(3)得到的推测对长度为奇数的路是否成立?
【不成立】,试说明【见程序】。
推测根据i+j+k的奇偶性,是否存在长度为k的路。
【若i+j+k为偶数,不存在;
相反,则存在】【路径见程序】
(5)如果我们在图中增加边{V3,V6},{V5,V8},新图的邻接矩阵B可首先令B=A,然后令B(3,6)=144,B(6,3)=1,B(5,8)=1,B(8,5)=1,对k=2,3,4,5计算Bk。
(4)中的推测在新的图形中是否还是成立的?
【不成立】见程序】
(6)在图中增加{V6,V8},并构造得到的图的邻接矩阵C,计算C的幂次,并验证你在(4)中的推测对这个新图是否仍然成立。
【不成立】【见程序】
7.令A=magic(8),然后计算其行最简形。
使得首1对应于前三个变量,且其余的五个变量均为自由的。
(1)令c=[1:
8]’,通过计算矩阵[Ac]的行最简形确定方程组Ax=c是否相容。
方程组是相容的吗?
【不相容】试说明。
【RA<
RAc】
(2)令b=[8-8-888-8-88]’;
并考虑方程组Ax=b。
该方程组应为相容的。
通过U=rref([Ab])验证。
对五个自由变量的任一组取值,我们都应可以得到一组解。
事实上,令
x2=floor(10*rand(5,1)),若x2表示方程组解的最后5个坐标,则我们由x2求得x1=(x1,x2,x3)’。
要这样做,只需要令U=rref([Ab])。
U的非零行对应于分块形式的线性方程组
为解此方程组,令V=U(1:
3,4:
8),c=U(1:
3,9)
并利用Matlab,根据x2,c和V计算x1。
令x=[x1;
x2],验证x是方程组的解。
8.令B=[-1,-1;
1,1]和A=[zeros
(2),eye
(2);
eye
(2),B]验证B2=0。
(1)用Matlab计算A2,A4,A6,A8。
猜想用子矩阵E,O和B如何表示分块形式的A2k。
用数学归纳法证明你的猜想对任何正整数k都是成立的。
(2)用Matlab计算A3,A5,A7和A9。
猜想用子矩阵E,O和B如何表示分块形式的A2k-1。
9.
(1)Matlab命令
A=floor(10*rand(6)),B=A’*A
将得到元素为整数的对称矩阵。
【第i行第j列的数等于第i列的数分别乘以第j列的数之和;
第j行第i列的数等于第j列的数分别乘以第i列的数之和,故为对称矩阵】
用这种方法计算B来验证结论,然后将B划分成四个3x3的子矩阵。
在Matlab中求子矩阵,令
B11=B(1:
3,1:
3),B12=B(1:
6)
并用B的第四行到第6行类似定义B21和B22。
(2)令C=inv(B11)。
应有CT=C和B21T=B12。
【对称阵的逆矩阵与该逆矩阵的转置是相等的,B12的第i行的数等于B21的第i列的数】
用Matlab运算符’计算转置,并验证结论。
然后,令
G=B21*C和H=B22-B21*C*B21’
利用Matlab函数eye和zeros构造
计算W=L*D*L’,并通过计算W-B与B进行比较。
证明:
若用算术运算精确计算LDLT,它应准确等于B。
附表:
第一题:
(1)
A=rand(4);
B=rand(4);
C=A*B;
D=B*A;
G=(A'
*B'
)'
;
H=(B'
*A'
C-D
ans=
2.2376e-0014.7289e-0011.3979e+0001.3204e+000
-6.3633e-001-3.0354e-0012.2485e-002-1.5056e-001
-1.7227e-001-1.1938e-0012.9484e-0012.3624e-001
-8.7955e-001-6.5016e-0018.0370e-002-2.1506e-001
C-G
C-H
0000
D-G