数学用Matlab学习线性代数线性方程组与矩阵代数文档格式.docx
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（3）（4）中无相等的
2．令n=200，并使用命令
A=floor（10*rand（n））;
b=sum（A’）’
z=ones（n,1）;
注释：
（n行一列全为1的矩阵）
生成一个矩阵和两个中的向量，它们的元素均为整数。
（因为矩阵和向量都很大，我们添加分号来控制输出。
（1）方程组的真解应为。
为什么？
【A中的每一行的元素之和正好等于对应b的每一列，故z为其一解，又det不等于0，RA=RAb=n，故z为其解】试说明，可在Matlab中利用”\”运算或计算，然后用计算来求解。
比较这两种计算方法的速度和精度。
我们将使用Matlab命令tic和toc来测量每一个计算过程消耗的时间。
只需要用下面的命令：
tic,x=A\b；
toc
tic,y=inv（A）*b;
toc
哪一种方法更快？
tic,x=A\b；
更快！
为了比较这两种方法的精度，可以测量求得的解x和y与真解z接近的程度。
利用下面的命令：
max（abs（x-z））
max（abs（y-z））
哪种方法的到的解更精确？
>
max（abs（x-z））=4.0168e-013更精确！
max（abs（y-z））=6.1107e-013
（2）用n=500和n=1000替换
（1）中的。
如
（1）结果一样！
3．令A=floor（10*rand（6））。
根据构造，矩阵A将有整数元。
将矩阵A的第六列更改，使得矩阵A为奇异的。
令
B=A’，A（:
6）=-sum（B（1:
5,:
））’
（1）设x=ones（6,1）,并利用Matlab计算Ax。
为什么我们知道A必为奇异的？
【因化简列，————>
列成比例】试说明。
通过化为行最简形来判断A是奇异的。
（2）令B=x*[1:
6]，乘积AB应为零矩阵。
【因A的每一行的前五个元素之和等于第六个元素的相反数，且在A上的每一行的元素同乘以相同的数，则仍等于0】试说明。
用Matlab的*运算计算AB进行验证。
（3）令C=floor（10*rand（6））和D=B+C，尽管,但乘积AC和AD是相等的。
试说明。
计算A*C和A*D，并验证它们确实相等。
【此处B为令B=x*[1:
6]；
A为A（:
））’】
由于A*B=0；
故AC=AD；
A（B+C）=AB+AC;
4．采用如下方式构造一个矩阵。
B=eye（10）-triu（ones（10）,1），参见最后附表二：
为什么我们知道B必为非奇异的？
【上三角矩阵的行列式的值等于对角线上的元素相乘】
令C=inv（B）且x=C（:
10），
现在用B（10,1）=-1/256将B进行微小改变。
利用Matlab计算乘积Bx。
由这个计算结果，你可以得出关于新矩阵B的什么结论？
【化简此时B，得行最简式，RB=9<
10，可以得出B的第10列（从1—9行）与x互为相反数，且都是2的指数幂数，且第十行为0，】它是否为奇异的？
【是】试说明。
用Matlab计算它的行最简形。
5．生成一个矩阵A：
A=floor（20*rand（6））
并生成一个向量b：
B=floor（20*rand（6,1））-10
（1）因为A是随机生成的，我们可以认为它是非奇异的。
那么方程组应有唯一解。
用运算“\”求解。
用Matlab计算[Ab]的行最简形U。
比较U的最后一列和解x，结果是什么？
【相等】在精确算术运算时，它们应当是相等的。
【行最简式中可写出对应元素的实际含义，对应处的未知元就等于最后的数】试说明。
为比较他们两个，计算差U（:
7）-x或用formatlong考虑它们。
（2）现在改变A，试它成为奇异的。
令A（:
3）=A（:
1:
2）*[43]’【第一列乘以4加上第二列乘以3替换到第三列上】，利用Matlab计算rref（[Ab]）。
方程组有多少组解？
【无解】试说明。
【RA<
R[AB]】
（3）令y=floor（20*rand（6,1））-10且c=A*y，为什么我们知道方程组Ax=c必为相容？
的？
【x此时必有一解y，故为相容的】试说明。
计算[Ac]的行最简形U。
【无穷多解】试说明。
【RA=RAc<
6】
（4）由行最简形确定的自由变量应为。
通过考察矩阵U对应的方程组，可以求得时所对应的解。
将这个解作为列向量输入Matlab中。
为检验，计算剩余向量。
（5）令。
矩阵U应对应于的行最简形。
用求自变量时齐次线性方程组的解（手工计算），并将你的结果输入为向量Z。
用A*Z检验你的结论。
（6）令。
向量v应为方程组的解。
用Matlab计算剩余向量来验证v为方程组的解。
在这个解中，自由变量的取值是什么？
【=3】如何使用向量w和z来求所有可能的方程组的解？
【v=w+n*z,其中n为任意实数】试说明。
6．考虑下图：
（1）确定图的邻接矩阵A，将其输入Matlab；
（2）计算A2并确定长度为2的路的条数【72】，其起止点分别为：
【A^2+A
中的数值之和，数字表示有几种路径，具体看程序】
（3）计算A4、A6、A8并回答
（2）中各种情况长度为4、【368】6、【2362】8、【15800】的路的条数。
试推测什么时候从顶点Vi到Vj没有长度为偶数【即为0】的路。
【i=1，j=6;
i=2,j=5;
i=3,j=6或8；
i=4,j=7;
i=5,j=8;
i=6,j=1或3;
i=7,j=4;
i=8,j=3或6;
】
（4）计算A3、A5、A7并回答
（2）中各情况长度为3、【154】5、【922】7【6098】的路的条数。
你由（3）得到的推测对长度为奇数的路是否成立？
【不成立】，试说明【见程序】。
推测根据i+j+k的奇偶性，是否存在长度为k的路。
【若i+j+k为偶数，不存在；
相反，则存在】【路径见程序】
（5）如果我们在图中增加边{V3,V6}，{V5,V8}，新图的邻接矩阵B可首先令B=A，然后令B（3,6）=144,B（6,3）=1,B（5,8）=1,B（8,5）=1，对k=2,3,4,5计算Bk。
（4）中的推测在新的图形中是否还是成立的？
【不成立】见程序】
（6）在图中增加{V6,V8}，并构造得到的图的邻接矩阵C，计算C的幂次，并验证你在（4）中的推测对这个新图是否仍然成立。
【不成立】【见程序】
7．令A=magic（8），然后计算其行最简形。
使得首1对应于前三个变量，且其余的五个变量均为自由的。
（1）令c=[1:
8]’，通过计算矩阵[Ac]的行最简形确定方程组Ax=c是否相容。
方程组是相容的吗？
【不相容】试说明。
【RA<
RAc】
（2）令b=[8-8-888-8-88]’;
并考虑方程组Ax=b。
该方程组应为相容的。
通过U=rref（[Ab]）验证。
对五个自由变量的任一组取值，我们都应可以得到一组解。
事实上，令
x2=floor（10*rand（5,1）），若x2表示方程组解的最后5个坐标，则我们由x2求得x1=（x1,x2,x3）’。
要这样做，只需要令U=rref（[Ab]）。
U的非零行对应于分块形式的线性方程组
为解此方程组，令V=U（1:
3,4:
8）,c=U（1:
3,9）
并利用Matlab，根据x2，c和V计算x1。
令x=[x1;
x2]，验证x是方程组的解。
8．令B=[-1,-1;
1,1]和A=[zeros
（2）,eye
（2）;
eye
（2）,B]验证B2=0。
（1）用Matlab计算A2，A4，A6，A8。
猜想用子矩阵E，O和B如何表示分块形式的A2k。
用数学归纳法证明你的猜想对任何正整数k都是成立的。
（2）用Matlab计算A3，A5，A7和A9。
猜想用子矩阵E，O和B如何表示分块形式的A2k-1。
9．
（1）Matlab命令
A=floor（10*rand（6））,B=A’*A
将得到元素为整数的对称矩阵。
【第i行第j列的数等于第i列的数分别乘以第j列的数之和；
第j行第i列的数等于第j列的数分别乘以第i列的数之和，故为对称矩阵】
用这种方法计算B来验证结论，然后将B划分成四个3x3的子矩阵。
在Matlab中求子矩阵，令
B11=B（1:
3,1:
3）,B12=B（1:
6）
并用B的第四行到第6行类似定义B21和B22。
（2）令C=inv（B11）。
应有CT=C和B21T=B12。
【对称阵的逆矩阵与该逆矩阵的转置是相等的，B12的第i行的数等于B21的第i列的数】
用Matlab运算符’计算转置，并验证结论。
然后，令
G=B21*C和H=B22-B21*C*B21’
利用Matlab函数eye和zeros构造
计算W=L*D*L’，并通过计算W-B与B进行比较。
证明：
若用算术运算精确计算LDLT，它应准确等于B。
附表：
第一题：
（1）
A=rand（4）;
B=rand（4）;
C=A*B;
D=B*A;
G=（A'
*B'
）'
;
H=（B'
*A'
C-D
ans=
2.2376e-0014.7289e-0011.3979e+0001.3204e+000
-6.3633e-001-3.0354e-0012.2485e-002-1.5056e-001
-1.7227e-001-1.1938e-0012.9484e-0012.3624e-001
-8.7955e-001-6.5016e-0018.0370e-002-2.1506e-001
C-G
C-H
0000
D-G
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