数学用Matlab学习线性代数线性方程组与矩阵代数文档格式.docx

1、（3）（4）中无相等的2令 n=200，并使用命令A=floor（10*rand（n）; b=sum（A）z=ones（n,1）; 注释：（n行一列全为1的矩阵）生成一个矩阵和两个中的向量，它们的元素均为整数。（因为矩阵和向量都很大，我们添加分号来控制输出。（1）方程组 的真解应为。为什么？ 【A中的每一行的元素之和正好等于对应b的每一列，故z为其一解，又det不等于0，RA=RAb=n，故z为其解】试说明，可在Matlab中利用”运算或计算，然后用计算来求解。比较这两种计算方法的速度和精度。我们将使用Matlab命令tic和toc来测量每一个计算过程消耗的时间。只需要用下面的命令：tic,x

2、=Ab；toctic,y=inv（A）*b; toc 哪一种方法更快？ tic,x=Ab；更快！为了比较这两种方法的精度，可以测量求得的解x和y与真解z接近的程度。利用下面的命令：max（abs（x-z）max（abs（y-z）哪种方法的到的解更精确？ max（abs（x-z）= 4.0168e-013 更精确！ max（abs（y-z） = 6.1107e-013（2）用n=500和n=1000替换（1）中的。 如（1）结果一样！3令A=floor（10*rand（6）。根据构造，矩阵A将有整数元。将矩阵A的第六列更改，使得矩阵A为奇异的。令B=A，A（:,6）=-sum（B（1:5,:）（

3、1）设x=ones（6,1）,并利用Matlab计算Ax。为什么我们知道A必为奇异的？【因化简列，列成比例】试说明。通过化为行最简形来判断A是奇异的。（2）令B=x*1:6，乘积AB应为零矩阵。【因A的每一行的前五个元素之和等于第六个元素的相反数，且在A上的每一行的元素同乘以相同的数，则仍等于0】试说明。用Matlab的*运算计算AB进行验证。（3）令C=floor（10*rand（6）和D=B+C，尽管,但乘积AC和AD是相等的。试说明。计算A*C和A*D，并验证它们确实相等。【此处B为令B=x*1:6；A为A（:）】由于A*B=0；故AC=AD；A（B+C）=AB+AC;4采用如下方式构造

4、一个矩阵。B=eye（10）-triu（ones（10）,1）， 参见最后附表二：为什么我们知道B必为非奇异的？【上三角矩阵的行列式的值等于对角线上的元素相乘】令C=inv（B）且x=C（:,10），现在用B（10,1）=-1/256将B进行微小改变。利用Matlab计算乘积Bx。由这个计算结果，你可以得出关于新矩阵B的什么结论？【化简此时B，得行最简式，RB=910，可以得出B的第10列（从19行）与x互为相反数，且都是2的指数幂数，且第十行为0，】 它是否为奇异的？【是】 试说明。用Matlab计算它的行最简形。5生成一个矩阵A：A=floor（20*rand（6）并生成一个向量b：B=f

5、loor（20*rand（6,1）-10（1）因为A是随机生成的，我们可以认为它是非奇异的。那么方程组应有唯一解。用运算“”求解。用Matlab计算A b的行最简形U。比较U的最后一列和解x，结果是什么？【相等】在精确算术运算时，它们应当是相等的。【行最简式中可写出对应元素的实际含义，对应处的未知元就等于最后的数】试说明。为比较他们两个，计算差U（:,7）-x或用format long考虑它们。（2）现在改变A，试它成为奇异的。令 A（:,3）=A（:,1:2）*4 3【第一列乘以4加上第二列乘以3替换到第三列上】，利用Matlab计算rref（A b）。方程组有多少组解？【无解】试说明。【R

6、ARAB】（3）令 y=floor（20*rand（6,1）-10 且 c=A*y，为什么我们知道方程组Ax=c必为 相容？的？【x此时必有一解y，故为相容的】试说明。计算A c的行最简形U。【无穷多解】试说明。【RA=RA c6】（4）由行最简形确定的自由变量应为。通过考察矩阵U对应的方程组，可以求得时所对应的解。将这个解作为列向量输入Matlab中。为检验，计算剩余向量。（5）令。矩阵U应对应于的行最简形。用求自变量时齐次线性方程组的解（手工计算），并将你的结果输入为向量Z。用A*Z检验你的结论。（6）令。向量v应为方程组的解。用Matlab计算剩余向量来验证v为方程组的解。在这个解中，自

7、由变量的取值是什么？ 【=3】 如何使用向量w和z来求所有可能的方程组的解？【v=w+n*z,其中n为任意实数】试说明。6考虑下图：（1）确定图的邻接矩阵A，将其输入Matlab；（2）计算A2并确定长度为2的路的条数【72】，其起止点分别为：【A2+A中的数值之和，数字表示有几种路径，具体看程序】（3）计算A4、A6、A8并回答（2）中各种情况长度为4、【368】6、【2362】8、【15800】的路的条数。试推测什么时候从顶点Vi到Vj没有长度为偶数 【即为0】 的路。 【i=1，j=6; i=2,j=5; i=3,j=6或8； i=4,j=7; i=5,j=8;i=6,j=1或3; i=

8、7,j=4; i=8,j=3或6;】（4）计算A3、A5、A7并回答（2）中各情况长度为3、【154】5、【922】7【6098】的路的条数。你由（3）得到的推测对长度为奇数的路是否成立？【不成立】，试说明【见程序】。推测根据i+j+k的奇偶性，是否存在长度为k的路。【若i+j+k为偶数，不存在；相反，则存在】 【路径见程序】（5）如果我们在图中增加边V3,V6，V5,V8，新图的邻接矩阵B可首先令B=A，然后令B（3,6）=144, B（6,3）=1, B（5,8）=1, B（8,5）=1，对k=2,3,4,5计算Bk。（4）中的推测在新的图形中是否还是成立的？【不成立】见程序】 （6）在图

9、中增加V6,V8，并构造得到的图的邻接矩阵C，计算C的幂次，并验证你在（4）中的推测对这个新图是否仍然成立。【不成立】【见程序】7令A=magic（8），然后计算其行最简形。使得首1对应于前三个变量，且其余的五个变量均为自由的。（1）令c=1:8，通过计算矩阵A c的行最简形确定方程组Ax=c是否相容。方程组是相容的吗？ 【不相容】 试说明。 【RARAc】（2）令 b=8 -8 -8 8 8 -8 -8 8;并考虑方程组Ax=b。该方程组应为相容的。通过U=rref（A b）验证。对五个自由变量的任一组取值，我们都应可以得到一组解。事实上，令x2=floor（10*rand（5,1），若x2

10、表示方程组解的最后5个坐标，则我们由x2求得x1=（x1,x2,x3）。要这样做，只需要令U=rref（A b）。U的非零行对应于分块形式的线性方程组为解此方程组，令V=U（1:3,4:8）,c=U（1:3,9）并利用Matlab，根据x2，c和V计算x1。令x=x1;x2，验证x是方程组的解。8令 B=-1,-1;1,1和A=zeros（2）,eye（2）;eye（2）,B 验证B2=0。（1）用Matlab计算A2，A4，A6，A8。猜想用子矩阵E，O和B如何表示分块形式的A2k。用数学归纳法证明你的猜想对任何正整数k都是成立的。（2）用Matlab计算A3，A5，A7和A9。猜想用子矩阵

11、E，O和B如何表示分块形式的A2k-1。9（1） Matlab命令A=floor（10*rand（6）,B=A*A将得到元素为整数的对称矩阵。【第i行第j列的数等于第i列的数分别乘以第j列的数之和；第j行第i列的数等于第j列的数分别乘以第i列的数之和，故为对称矩阵】用这种方法计算B来验证结论，然后将B划分成四个3x3的子矩阵。在Matlab中求子矩阵，令 B11=B（1:3,1:3）,B12=B（1:6）并用B的第四行到第6行类似定义B21和B22。（2）令 C=inv（B11）。应有CT=C和B21T=B12。【对称阵的逆矩阵与该逆矩阵的转置是相等的，B12的第i行的数等于B21的第i列的数

12、】用Matlab运算符计算转置，并验证结论。然后，令G=B21*C 和 H=B22-B21*C*B21利用Matlab函数eye和zeros构造计算W=L*D*L，并通过计算W-B与B进行比较。证明：若用算术运算精确计算LDLT，它应准确等于B。附表：第一题：（1） A=rand（4）; B=rand（4）; C=A*B; D=B*A; G=（A*B）; H=（B*A C-Dans = 2.2376e-001 4.7289e-001 1.3979e+000 1.3204e+000 -6.3633e-001 -3.0354e-001 2.2485e-002 -1.5056e-001 -1.7227e-001 -1.1938e-001 2.9484e-001 2.3624e-001 -8.7955e-001 -6.5016e-001 8.0370e-002 -2.1506e-001 C-G C-H 0 0 0 0 D-G