量子力学算符.docx

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量子力学算符

第三章算符和力学量算符

3.1算符概述

设某种运算把函数U变为函数V,用算符表示为：

Fu=v（3.1-1）

F称为算符。

U与V中的变量可能相同，也可能不同。

例如，号上=片，册2=卩2，J石=V3*

/f,c"dx=C（pJ）»/-1.—,x,/一”fdx,e"都是算符。

yjlTth^dx

1.算符的一般运算

（1）算符的相等：

对于任意函数U,若Fu=Gu,则G=F.

（2）算符的相加：

对于任意函数u,若Fu+Gu=Mu,则M=F+G9算符的相加满足交换律。

（3）算符的相乘：

对于任意函数u,若FFu=Mu,则M=GFq算符的相乘一般不满足交换

律。

如果FG=GF,则称斤与6对易。

2.几种特殊算符

（1）单位算符

对于任意涵数U,若7u=u,则称f为单位算符。

7与1是等价的。

（2）线性算符

对于任意函数U与V,若F（C1W+C2v）=C；A/+C；Fv,则称戶为反线性算符。

（3）逆算符

对于任意函数u,若FGu=GFu=u则称戶与6互为逆算符。

即G=F~},

AAAAAA

F=G=FF"=F"F=1。

并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符.零算符就没有逆算符。

对于非齐次线性緻分方程：

Fu（x）=af（x）9其中斤为«■与函数构成的线性算符，a为常数。

dx

其解U可表示为对应齐次方程的通解U。

与非齐次方程的特解u之和，即u=u{）+v<,因戶如=0,

所以不存在斤“使f_,A/0=w0o一般说来，在特解。

中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当“0时，u=0,则U中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在戶“使F-,Fv=FF-,v=v,从而由Fv=af得：

u=F~laf。

从上述分析可知，是否存在逆算符还与算符所作用的函数有关。

（4）转置算符

令Fu=uFt则称户与戶的转置算符，F是一个向左作用的算符。

若算符F表示一般函数（或常数），由于函数的左乘等于右乘，所以函数的转置就等于它本身。

定义波函数0与。

的标积为：

<^>1^>=j（p（pdr（3.1-2）

0与戶。

的标枳以及卩6与0的标积为：

<（p\F\（/）>=^（pF（/）dr

X

<（p\G\（p>=\（pG（pdT若上两式中的e与0都是任意波函数，则称上两式中的斤与e为任意标积中的算符。

下面考虑在任意标积中f的性质。

g¥（t）g（ix=\£严X=G0Z-jx

dx

（p—dx波函数0（x）与°（x）在无限远点也应满■xdx

足连续性条件:

仅S）=0（-oO）［可都等于零］,0（S）=0（Y）,所以得:

可见在任意标积中，—=dx

~O

dx

（5）转置共馳算符（也称为厄密共扼算符）与厄密算符

转置共觇算符通常也是向左作用的算符，同时算符本身要取共馳。

以户亠标记斤的转置共扼算

符，则F+=FuF+=Fw

若在任意标积中，F+=F,则称斤为厄密算符。

即厄密算符的定义为:

j*（pF（pdt=^{F（p）（j）dT

（3.1-3）

或写为v（p\F\（p>=<（p\F^\（p>可以证明，位置算符与动量算符都是厄密算符。

因X是实数，而X=X.所以X+=Xo在任意标积中，因—,所以A+=[-—]=丹。

也可以直接从定义式（3.1-3）出发，

dxdx\idx）\idx

来证明月是厄密算符。

（6）幺正算符

若在任意标积中，H则称戶为幺正算符。

设T=,若d为厄密算符，则亍必为幺

正算符。

（7）算符的函数

设函数F（A）的各阶导数都存在，则定义算符久的函数F（久）为：

QC

（3.1-4）

八A八八八入■X1A

其中A"表示n个A的乘幕，即An=AAA。

例如/一F"

3.2算符的对易关系

定义算符的泊松（Poisson）括号为：

[A,B]=AB-BA（3.2-1）

一般说来AB^BA,例如[入6]=浜，这样的关系或称为对易关系式。

[入斤]=0是对易关系

式中的特例，这时AB=BA,称久与斤是对易的。

1.量子力学中基本对易关系

八hQhho（oh八

在位置表象中，PKx（p（xy）\z）=（x（p）=-（p+-x—=-（p+xPK（p,即

idxiidxi

（xPx-Pxx）（p=ih（p.此式对任意的0都成立，所以得:

lx.Px\=ih

在动量表象中

迅P、,PJ=ih冷（PQ=ih（t>+ihP\為=ih（f>+P&e,

即（迅_空）0=涓0,此式对

任意的0都成立，所以得：

［X,px］=ih

可见在位置表象中与动量表象中都得:

{x.Px]=ih

（3.2-2）

如果两个算符所含的独立变疑不同，则这两个算符是对易的。

例如，在位置表象中，y=y所

八hdA

含的变量是y,而片=所含的变量是x,所以［”人.］二0。

又如

idx

量是r,而£所含的变量是所以［t/（r）,£2］=Oo此外，相同

在有心力场中，U（x）所含的变

的算符一定对易。

以x,{i=1,2,3）表示x,y,z,以*表示”.，p.,p,则应有：

[xpi;]=O

厲,月]=0

（3.2-3）

［恳,和=陋

（3.2-4）

（3.2-4）式就是量子力学中的基本对易关系式。

2.线性算符泊松括号的性质

根据量子泊松括号的定义式以及线性算符的定义式不难证明下

关系式：

（其证明供练习）

[A,B]=-[B,A]

（3.2-5）

[A,C]=OC为常数

（3.2-6）

[CA,B]=C[Aj]C为常数

（3.2-7）

[入+入,创=[人,&]+[入,和

a/\八AA/K八/%

（3.2-8）

[人4"]=[外甸4+4[每B]

（3.2-9）

q八八O八Q八

評宀鶴"七才］

3.其他对易关系

（3.2-10）

（1）角动量算符与位置算符之间的对易关系

[Lxix]=[yPz,zPy9x]=Q

[厶,y]=lyPz-zPy,y]=-z[Pyiy]=z[y,Py]=ihz

同理可得：

[厶,刃=一〃巧，……，各对易关系可合写为：

[厶，和工％兀

k

采用爱因斯坦记号，则上式可写为：

[Li.xi]=ihsijkxk（3.2-11）

其中％人•称为勒维一一奇维塔（Levi-Civita）符号。

^123=1,列女对所有角标都是反对称的，即

交换任意两个角标，其值反号，例如，^213=-1,习21=—1。

若兮女中有两个角标相同，则其值为零。

勺女具有以下数学性质：

（3.2-12）

（3.2-13）

%%=2%

£ijk£apk=

--AjB,—AB

（AxBh=sijkAiBj=stjk--、-•

上式中将A,B;改写为八竹「沁称为将AQ反对称化，之所以能将AtB.反对称化是由于备对角

（3.2-18）

（3.2-19）

（3.2-20）

[QQ=o

（4）算符的函数之间的对易关系

[/（x,y,z）,P]=ih^f（x,y,z）

[A/（A）]=O,[/；（A）]=O

必须注意，若[F,G]^O,则

3.3线性厄密算符和力学量算符

1.厄密算符的性质

（1）对易的厄密算符的乘积也是厄密算符。

设户与e是对易的厄密算符，利用（3.1-3）式可得：

f（pFG（pdr=[（F^）*G^/r=f（GF（j）S（pdT=f{FG（p）dr

JXJWJXJQC

所以斤e也是厄密算符。

（2）厄密算符的本征值必为实数。

设斤为厄密算符，其本征方程为：

F（p=Ftp,贝•]{F（p）=F（p

根据（3.1-3）式得：

J（pF（pelT=|（F（p）（pdr

XX

则FI（pcpdr=FJ（p（pdr

JoeJoe

因则得F寸*，所以F为实数。

（3）厄密算符属于不同本征值的本征函数是正交的。

设代，0为厄密算符户分别对应本征值巴的本征函数，则

Jx（p^cp^r=[（F^）>/r即（巧一兀）]>；%〃=o

当F严Fk时得:

上式称为正交关系式。

若本征值无简并，且本征函数已归一化，则得：

当F为分立谱时，、何卩心=5好（3.3-1）

当F为连续谱时，£^>f.6/r=J（F-F,）（3.3-2）

如果户中含有参变量，则只有当参变量的值保持不变时，属于不同本征值的本征函数才是正交的。

例如，当粒子在有心力场中运动时，经向方程是厄密算符的本征方程，其本征值为能量E（对束缚态，E由径向量子数件确定）。

角量子数1是径向方程中的参变量。

径向波函数REI（r）的正交关系式为：

J'R^R^rdr=0,EhE

因不同的1值对应不同的径向方程，所以

[心r汽/厂H0,l^r

2、正交化手续

对于线性厄密算符戶，如果斤的本征值Fn是f度简并的，对应的本征函数为久,％，…卩―则这f个本征函数的任意线性组合也是本征方程的解。

一般说来，这f个本征函数不一定是正交的,但通过它们的线性组合一定可以构成f个正交的本征函数。

通常的正交化手续如下：

取

%=

他=0肿％广C®叫

从乞,与%的正交性可以确定b）

他H=j>:

，（弘+方陷）j>；他血+町/,；夠乃=0

则得:

皤一巽创

若先将hi归一化，则得：

勺=—]>：

他旅

从號0屮％的正交性得:

%dr=L

若先将0片归一化，则得:

从巩％%的正交性得:

%5少+cJ/；久dT=O

则得：

G=_甕空^

=LGg+5\用小=0

则得:

―一竖叱

依此类推，可求出各系数，使（Pz（p、z•……彼此正交。

3、力学量算符

在量子力学中，力学量都有算符表示。

力学量算符通常都是线性厄密算符。

假设力学豈算符的本征函数构成完备系（之所以是假设是因为尚未得到普遍性的证明），即认为任意波函数都可以对力学量算符的本征函数组展开。

一个力学量算符的本征函数也可以对另一个力学量算符的本征函数组展开。

在展开式中的本征函数组也称为本征基组应注意，这里所说的力学量总是指某物理体系中的力学量，这里所说的波函数是指描写同一物理体系的波函数，事实上，只有对于同一物理体系，力学呈的本征函数与被展开的波函数才能具有相同的时间与空间。

当力学量算符戶的本征值Fn为分立谱时，在位置表象中，设本征基组必（F）满足正交归一条件:

满足上式的血也称为幺正基组。

通常血只是尸的函数而与t无关。

含时波函数0（几/）对血（和的展开式［不含时的波函数俠门也可对必（F）展开］为:

（3.3-3）

CZI（r）实际上是C川（/）=C（打J）的简写。

以0：

（门乘上式并对整个空间积分得：

J0：

姉=ECn⑴JGM=Cm（0，则得:

n

C”（Q=M；（F）m，/M<3.3-4）

若0（戸,/）已归一化，即j（p（pclr=1,则得：

f0哪=J（工c“仇）"（

mn

m$M=2C：

G=\<3.5-5）

nuin

若已知（p（TJ）,则由（3.3-4）