高考文科数学基础知识巩固强化练习试题24Word文件下载.docx

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C.D.

B

∵0<

1，∴x（3－3x）＝3x（1－x）≤32＝.当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．

3．[2019·

长春质量监测

（一）]已知x>

0，y>

0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为（　　）

A．8B．9

C．12D．16

由4x＋y＝xy得＋＝1，则x＋y＝（x＋y）·

＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时取“＝”，故选B.

4．若直线mx＋ny＋2＝0（m>

0，n>

0）被圆（x＋3）2＋（y＋1）2＝1截得的弦长为2，则＋的最小值为（　　）

A．4B．6

由题意，圆心坐标为（－3，－1），半径为1，直线被圆截得的弦长为2，所以直线过圆心，即－3m－n＋2＝0,3m＋n＝2.所以＋＝（3m＋n）＝6＋＋≥＝6，当且仅当＝时取等号，因此＋的最小值为6，故选B.

5．[2019·

湖南永州模拟]已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2a，则△ABC是（　　）

A．等边三角形B．锐角三角形

C．等腰直角三角形D．钝角三角形

∵＋＝2a，由正弦定理可得，2sinA＝＋≥2＝2，即sinA≥1，∴sinA＝1，当且仅当＝，即B＝C时，等号成立，∴A＝，b＝c，∴△ABC是等腰直角三角形，故选C.

6．[2019·

开封模拟]已知实数x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值是（　　）

C．32D．64

解法一　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u＝x－2y，由图知，当直线u＝x－2y经过点A（1,3）时，u取得最小值，即umin＝1－2×

3＝－5，此时z＝x－2y取得最大值，即zmax＝－5＝32，故选C.

解法二　由题易知z＝x－2y的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出顶点A，B，C的坐标分别代入z＝x－2y，即可求得最大值．联立得解得A（1,3），代入可得z＝32；

联立得解得B，代入可得z＝；

联立得解得C（－2,0），代入可得z＝4.通过比较可知，在点A（1,3）处，z＝x－2y取得最大值32，故选C.

7．若实数x，y满足不等式组目标函数z＝kx－y的最大值为12，最小值为0，则实数k＝（　　）

A．2B．1

C．－2D．3

D

作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝kx－y可化为y＝kx－z，若k≤0，则z的最小值不可能为0，若k>

0，当直线y＝kx－z过点（1,3）时，z取最小值0，得k＝3，此时直线y＝kx－z过点（4,0）时，z取得最大值12，符合题意，故k＝3.

8．[2019·

云南红河州统一检测]设x，y满足条件若目标函数z＝ax＋by（a>

0，b>

0）的最大值为2，则＋的最小值为（　　）

A．25B．19

C．13D．5

A

不等式组表示的平面区域如图中阴影部分，当直线ax＋by＝z（a>

0）过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点（4,6）时，目标函数z＝ax＋by（a>

0）取得最大值2，即2a＋3b＝1，所以（2a＋3b）＝13＋6≥13＋6×

2＝25，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以＋的最小值为25，故选A.

二、非选择题

9．已知x<

，则f（x）＝4x－2＋的最大值为________．

1

因为x<

，所以5－4x>

0，则f（x）＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.

当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f（x）＝4x－2＋的最大值为1.

10．[2019·

广东清远模拟]若x>

0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________．

16

因为x>

0，且＋＝1，所以x＋y＝（x＋y）＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当9x2＝y2，即y＝3x＝12时等号成立．故x＋y的最小值是16.

11．[2018·

全国卷Ⅰ]若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．

6

作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．

由z＝3x＋2y得y＝－x＋.

作直线l0：

y＝－x.平移直线l0，当直线y＝－x＋

过点（2,0）时，z取最大值，zmax＝3×

2＋2×

0＝6.

12．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；

生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．

216000

由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2100x＋900y，线性约束条件为

作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为（60,100），所以zmax＝2100×

60＋900×

100＝216000（元）．

课时增分练

河北卓越联盟联考]已知点（－3，－1）和（4，－6）在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为（　　）

A．（－7,24）

B．（－∞，－7）∪（24，＋∞）

C．（－24,7）

D．（－∞，－24）∪（7，＋∞）

由题意可知（－9＋2－a）（12＋12－a）<

0，所以（a＋7）（a－24）<

0，所以－7<

a<

24.故选A.

2．[2019·

甘肃诊断]已知向量a＝（3，－2），b＝（x，y－1），且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是（　　）

C．8D．24

因为a∥b，故3（y－1）＝－2x，整理得2x＋3y＝3，所以＋＝（2x＋3y）＝≥＝8，当且仅当x＝，y＝时等号成立，所以＋的最小值为8，故选C.

3．若正数x，y，a满足ax＋y＋6＝xy，且xy的最小值为18，则a的值为（　　）

A．1B．2

C．4D．9

正数x，y，a满足ax＋y＋6＝xy，且ax＋y≥2，当且仅当ax＝y时等号成立，所以xy≥6＋2.令t＝，则t2－2t－6≥0，由xy的最小值为18得t≥3，所以3为方程t2－2t－6＝0的一个解，则18－6－6＝0，得a＝2.故选B.

4．[2019·

山东济宁模拟]已知a>

0，并且，，成等差数列，则a＋9b的最小值为（　　）

A．16B．9

C．5D．4

∵，，成等差数列，∴＋＝1，∴a＋9b＝（a＋9b）＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝且＋＝1即a＝4，b＝时等号成立，故选A.

5．已知a，b为正实数，函数y＝2aex＋b的图象过点（0,1），则＋的最小值是（　　）

A．3＋2B．3－2

C．4D．2

因为函数y＝2aex＋b的图象过点（0,1），所以2a＋b＝1.又a>

0，所以＋＝＋＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即b＝a时取等号，所以＋的最小值是3＋2.

6．已知x，y满足约束条件若z＝x＋4y的最大值与最小值之差为5，则实数λ的值为（　　）

A．3B.

C.D．1

作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A（1,4），B（λ－3，λ）．由z＝x＋4y，得y＝－x＋，作出直线y＝－x，并平移，知当该直线经过点A时，z取得最大值，且最大值为1＋4×

4＝17；

当该直线经过点B时，z取得最小值，且最小值为λ－3＋4λ＝5λ－3.因为z＝x＋4y的最大值与最小值之差为5，所以17－（5λ－3）＝20－5λ＝5，得λ＝3.故选A.

7．[2019·

太原模拟]

已知点（x，y）所在的可行域如图中阴影部分所示（包含边界），若使目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数多个，则a的值为（　　）

A．4B.

C.D.

因为目标函数z＝ax＋y，所以y＝－ax＋z，易知z是直线y＝－ax＋z在y轴上的截距．分析知当直线y＝－ax＋z的斜率与直线AC的斜率相等时，目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数多个，此时－a＝＝－，即a＝，故选D.

湖北联考]已知实数x，y满足则z＝|2x－3y＋4|的最小值为（　　）

由题意得，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，设m＝2x－3y＋4，在直线2x－3y＋4＝0上方并满足约束条件的区域使得m的值为负数，在点A处m取得最小值，联立解得x＝1，y＝4，此时mmin＝2×

1－3×

4＋4＝－6，则|m|max＝6，在直线2x－3y＋4＝0下方并满足约束条件的区域使得m的值为正数，在点C处m取得最大值，联立解得x＝2，y＝1，即C（2,1），此时mmax＝5，|m|max＝5，故|m|max＝6，故z＝|2x－3y＋4|在点A（1,4）处取得最小值，最小值为z＝6＝，故选D.

9．[2018·

全国卷Ⅱ]若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．

9

由不等式组画出可行域，如图（阴影部分）．x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z（z看做常数）的横截距最大，

由图可得直线x＋y＝z过点C时z取得最大值．

由得点C（5,4），

∴zmax＝5＋4＝9.

郑州模拟]已知不等式组表示的平面区域为D，若直线y＝kx＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是________．

区域D如图中的阴影部分所示，直线y＝kx＋1经过定点C（0,1），如果其把区域D划分为面积相等的两个部分，则直线y＝kx＋1只要经过AB的中点即可．

由方程组解得A（1,0）．

由方程组解得B（2,3）．

所以AB的中点坐标为，代入直线方程y＝kx＋1得，＝k＋1，解得k＝.

11．设函数f（x）＝x＋，x∈[0，＋∞）．

（1）当a＝2时，求函数f（x）的最小值；

（2）当0<

1时，求函数f（x）的最小值．

（1）当a＝2时，f（x）＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1，当且仅当x＋1＝，即x＝－1时取等号，所以f（x）min＝2－1.

1时，任取0≤x1<

x2，则f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）.

因为0<

1，（x1＋1）（x2＋1）>

1，

所以1－>

0，

因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，

所以f（x1）－f（x2）<

0，故f（x1）<

f（x2），

即f（x）在[0，＋∞）上为增函数．

所以f（x）min＝f（0）＝a.