高中教育高中物理第五章曲线运动习题课3竖直面内的圆周运动教学案新人教版必修2文档格式.docx

高中教育高中物理第五章曲线运动习题课3竖直面内的圆周运动教学案新人教版必修2文档格式.docx

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（5）有一竖直放置、内壁光滑的圆环，其半径为r，质量为m的小球沿它的内表面做圆周运动，分析小球在最高点A的速度应满足什么条件？

答案　

（1）最低点：

FT1＝mg＋

（2）最高点：

FT2＝－mg

（3）由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由FT2＋mg＝可知，当FT2＝0时，v2最小，最小速度为v0＝。

（4）当v<

时，所需的向心力Fn＝<

mg。

此时，重力mg的一部分提供向心力，剩余的另一部分力会使小球向下偏离圆周轨道，即小球此时不能过最高点做圆周运动，这之前已经脱离圆周轨道了。

绳拉球过最高点的条件是：

v≥。

（5）与绳拉球模型相似，在最高点A时，有FN＋mg＝m，当FN＝0时，v最小为v0＝，当v＝v0时，小球刚好能够通过最高点，当v<

v0时，球偏离轨道，不能过最高点。

当v>

v0时，小球能够通过最高点。

[知识深化]　轻绳模型（如图2所示）的最高点问题

图2

1。

绳（内轨道）施力特点：

只能施加向下的拉力（或压力）。

在最高点的动力学方程FT＋mg＝m。

在最高点的临界条件FT＝0，此时mg＝m，

则v＝。

v＝时，拉力或压力为零。

v>

时，小球受向下的拉力或压力。

v<

时，小球不能达到最高点。

即轻绳模型的临界速度为v临＝。

例1　一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图3所示，水的质量m＝0。

5kg，水的重心到转轴的距离l＝50cm。

（g取10m/s2）

图3

（1）若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；

（结果保留三位有效数字）

（2）若在最高点水桶的速率v＝3m/s，求水对桶底的压力大小。

答案　

（1）2。

24m/s　

（2）4N

解析　

（1）以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。

此时有：

mg＝m，

则所求的最小速率为：

v0＝≈2。

24m/s。

（2）此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则由牛顿第二定律有：

FN＋mg＝m，

代入数据可得：

FN＝4N。

由牛顿第三定律，水对桶底的压力：

FN′＝4N。

针对训练　（多选）如图4所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是（　　）

图4

A。

小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力

B。

小球在最高点时绳子的拉力不可能为零

C。

若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为

D。

小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力

答案　CD

解析　小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A错误；

小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力充当，则可以使绳子的拉力为零，B错误；

小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v＝，C正确；

小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D正确。

二、竖直面内圆周运动的轻杆（管）模型

[导学探究]　长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小球在竖直面内做圆周运动。

（如图5）

图5

（1）当小球在最高点B的速度为v1时，求杆对球的作用力。

（2）杆拉球过最高点的最小速度为多少？

（3）试分析光滑圆管竖直轨道中，小球过最高点时受管壁的作用力与速度的关系？

答案　

（1）设杆对它的作用力向下，则有mg＋F＝

则F＝－mg

当v1＝时，F＝0

当v1>

时，F>

0，表示球受杆的作用力方向向下，表现为拉力。

当v1<

时，F<

0，表示球受杆的作用力方向向上，表现为支持力。

（2）由

（1）中的分析可知，杆拉球过最高点的最小速度为零。

（3）设管壁对球的作用力向下，为FN。

则有FN＋mg＝

即FN＝－mg

当v＝时，FN＝0，

时，FN>

0，即上管壁对球有向下的压力；

当0<

时，FN<

0，即FN竖直向上，下管壁对球有向上的支持力。

[知识深化]　细杆和管形轨道模型

最高点的最小速度

如图6所示，细杆上固定的小球和管形轨道内运动的小球，由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg。

图6

小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况

（1）v>

，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，F随v增大而增大。

（2）v＝，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F＝0。

（3）0<

，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，F随v的增大而减小。

小球能过最高点的条件：

v＝0。

例2　长L＝0。

5m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2kg。

现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图7所示。

在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力大小（g＝10m/s2）。

图7

（1）A的速率为1m/s；

（2）A的速率为4m/s。

答案　

（1）16N　

（2）44N

解析　以A为研究对象，设其受到杆的拉力为F，

则有mg＋F＝m。

（1）代入数据v1＝1m/s，可得F＝m（－g）＝2×

（－10）N＝－16N，即A受到杆的支持力为16N。

根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16N。

（2）代入数据v2＝4m/s，可得F′＝m（－g）＝2×

（－10）N＝44N，即A受到杆的拉力为44N。

根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44N。

例3　（多选）如图8所示，半径为L的圆管轨道（圆管内径远小于轨道半径）竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球（小球直径略小于管内径）可沿管转动，设小球经过最高点P时的速度为v，则（　　）

图8

v的最小值为

v若增大，球所需的向心力也增大

当v由逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小

当v由逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大

答案　BD

解析　由于小球在圆管中运动，最高点速度可为零，A错误；

根据向心力公式有Fn＝m，v若增大，球所需的向心力一定增大，B正确；

因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v＝时，圆管受力为零，故v由逐渐减小时，轨道对球的弹力增大，C错误；

v由逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大，D正确。

故选B、D。

（轻绳作用下物体的运动）杂技演员表演“水流星”，在长为1。

6m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0。

5kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图9所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4m/s，则下列说法正确的是（g＝10m/s2）（　　）

图9

“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出

“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零

“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用

“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5N

答案　B

解析　水流星在最高点的临界速度v＝＝4m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故选B。

（轨道约束下小球的运动）（多选）如图10所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动。

圆环半径为R，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是（　　）

图10

小球对圆环的压力大小等于mg

重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力

小球的线速度大小等于

小球的向心加速度大小等于g

答案　BCD

解析　因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；

此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，满足mg＝m＝ma，即v＝，a＝g，选项B、C、D正确。

（球在管形轨道中的运动）（多选）如图11所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是（　　）

图11

小球通过最高点时的最小速度是

小球通过最高点时的最小速度为零

小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力

小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力

解析　小球通过最高点的最小速度为0，圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线ab以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，就是外侧管壁对小球的作用力，故B、D正确。

4。

（杆拉球在竖直面内的运动）质量为0。

2kg的小球固定在长为0。

9m的轻杆一端，杆可绕过另一端O点的水平轴在竖直平面内转动。

（g＝10m/s2）求：

（1）当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？

（2）当小球在最高点的速度分别为6m/s和1。

5m/s时，球对杆的作用力。

答案　

（1）3m/s　

（2）6N，方向竖直向上　1。

5N，方向竖直向下

解析　

（1）当小球在最高点对杆的作用力为零时，重力提供向心力，则mg＝m，解得v0＝3m/s。

（2）v1＞v0，由牛顿第二定律得：

mg＋F1＝m，由牛顿第三定律得：

F1′＝F1，解得F1′＝6N，方向竖直向上。

v2＜v0，由牛顿第二定律得：

mg－F2＝m，由牛顿第三定律得：

F2′＝F2，解得：

F2′＝1。

5N，方向竖直向下。

课时作业

一、选择题（1～7为单项选择题，8～10为多项选择题）

长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点。

则下列说法中正确的是（　　）

小球过最高点时速度为零

小球开始运动时绳对小球的拉力为m

小球过最高点时绳对小球的拉力为mg

小球过最高点时速度大小为

答案　D

秋千的吊绳有些磨损，在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千（　　）

在下摆过程中B。

在上摆过程中

摆到最高点时D。

摆到最低点时

解析　当秋千摆到最低点时速度最大，由F－mg＝m知，吊绳中拉力F最大，吊绳最容易断裂，选项D正确。

如图1所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为（　　）

0B。

C。

D。

答案　C

解析　由题意知F＋mg＝2mg＝m，故速度大小v＝，C正确。

如图2所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动。

当小球运动到最高点时，即时速度为v＝，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是（　　）

mg的拉力B。

mg的压力

零D。

解析　当重力完全充当向心力时，