人教版高中数学A版必修4学案 任意角的三角函数一Word格式.docx

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思考2　如图，锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P（a，b），它与原点的距离为r，作PM⊥x轴，你能根据直角三角形中三角函数的定义求出sinα，cosα，tanα吗？

答　sinα＝，cosα＝，tanα＝.

思考3　

如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．锐角α的终边与单位圆交于P（x，y）点，则有：

sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.

探究点二　任意角三角函数的概念

思考1　任意角三角函数是怎样定义的？

①单位圆定义法：

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：

y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；

x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；

叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝（x≠0）．

②终边定义法：

设角α终边上任意一点的坐标为（x，y），它与原点的距离为r，则有sinα＝，cosα＝，tanα＝（x≠0），其中r＝>

0.

思考2　对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？

答　由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角α终边上点P的位置无关．

思考3　在上述三角函数定义中，自变量是什么？

对应关系有什么特点，函数值是什么？

答　

（1）正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数．

（2）当α＝＋kπ（k∈Z）时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tanα＝无意义，除此情况外，对于确定的值α，上述三个值都是唯一确定的实数．

（3）当α是锐角时，此定义与初中定义相同；

当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P（x，y），从而就必然能够最终计算出三角函数值．

例1　求的正弦、余弦和正切值．

解　

在直角坐标系中，

作∠AOB＝，

∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为，

所以sin＝－，cos＝，tan＝－.

反思与感悟　利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：

角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论．

跟踪训练1　已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P（4，y）是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝.

答案　－8

解析　因为sinθ＝＝－，

所以y<

0，且y2＝64，所以y＝－8.

探究点三　三角函数值在各象限的符号

思考　上述三种函数的值在各象限的符号会怎样？

答　三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号．

（1）sinα＝（r>

0），因此sinα的符号与y的符号相同，当α的终边在第一、二象限时，sinα>

0；

当α的终边在第三、四象限时，sinα<

（2）cosα＝（r>

0），因此cosα的符号与x的符号相同，当α的终边在第一、四象限时，cosα>

当α的终边在第二、三象限时，cosα<

（3）tanα＝，因此tanα的符号由x、y确定，当α终边在第一、三象限时，xy>

0，tanα>

当α终边在第二、四象限时，xy<

0，tanα<

三角函数值在各象限内的符号，如图所示：

记忆口诀：

一全正，二正弦，三正切，四余弦．

例2　判断下列各式的符号：

（1）sinα·

cosα（其中α是第二象限角）；

（2）sin285°

cos（－105°

）；

（3）sin3·

cos4·

tan.

解　

（1）∵α是第二象限角．

∴sinα>

0，cosα<

0，∴sinα·

cosα<

（2）∵285°

是第四象限角，∴sin285°

<

0，

∵－105°

是第三象限角，∴cos（－105°

）<

∴sin285°

·

）>

（3）∵<

3<

π，π<

4<

，

∴sin3>

0，cos4<

∵－＝－6π＋，

∴tan>

∴sin3·

tan<

反思与感悟　准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键．可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆．

跟踪训练2　已知cosθ·

tanθ<

0，那角θ是（　　）

A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角

C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角

答案　C

解析　∵cosθ·

0，∴或

由得角θ为第三象限角．

由得角θ为第四象限角．

∴角θ为第三或第四象限角．

探究点四　诱导公式一

思考1　诱导公式一是什么？

答　由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等．由此得到诱导公式一：

sin（k·

360°

＋α）＝sinα，cos（k·

＋α）＝cosα，

tan（k·

＋α）＝tanα，其中k∈Z，

或者：

sin（2kπ＋α）＝sinα，cos（2kπ＋α）＝cosα，

tan（2kπ＋α）＝tanα，其中k∈Z.

思考2　诱导公式一的作用是什么？

答　把求任意角的三角函数值转化为求0°

～360°

的三角函数值．

例如：

sin420°

＝sin60°

＝；

cos（－330°

）＝cos30°

tan（－315°

）＝tan45°

＝1.

例3　求下列各式的值．

（1）cos＋tan；

（2）sin（－1320°

）cos1110°

＋cos（－1020°

）sin750°

＋tan495°

.

解　

（1）原式＝cos＋tan

＝cos＋tan＝＋1＝.

（2）原式＝sin（－4×

＋120°

）cos（3×

＋30°

）＋cos（－3×

＋60°

）sin（2×

）＋tan（360°

＋135°

）＝sin120°

cos30°

＋cos60°

sin30°

＋tan135°

＝×

＋×

－1＝0.

反思与感悟　利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角的三角函数值．

跟踪训练3　求下列各式的值：

（1）cos＋tan；

（2）sin630°

＋tan1125°

＋tan765°

＋cos540°

（2）原式＝sin（360°

＋270°

）＋tan（3×

＋45°

）＋tan（2×

）＋cos（360°

＋180°

）

＝sin270°

＋tan45°

＋cos180°

＝－1＋1＋1－1＝0.

1．已知角α的终边经过点（－4,3），则cosα等于（　　）

A.B.

C．－D．－

答案　D

解析　因为角α的终边经过点（－4,3），所以x＝－4，y＝3，r＝5，所以cosα＝＝－.

2．如果角α的终边过点P（2sin30°

，－2cos30°

），则cosα的值等于（　　）

A.B．－C．－D.

答案　A

解析　2sin30°

＝1，－2cos30°

＝－，

∴r＝2，∴cosα＝.

3．若点P（3，y）是角α终边上的一点，且满足y<

0，cosα＝，则tanα等于（　　）

A．－B.C.D．－

解析　∵cosα＝＝，

∴＝5，∴y2＝16，

∵y<

0，∴y＝－4，∴tanα＝－.

4．tan405°

－sin450°

＋cos750°

＝.

答案　

解析　tan405°

＝tan（360°

）－sin（360°

＋90°

）＋cos（720°

－sin90°

＋cos30°

＝1－1＋＝.

[呈重点、现规律]

1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P（x，y）在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．

2．要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取．

3．要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值．

一、基础过关

1．有下列说法：

①终边相同的角的同名三角函数的值相等；

②终边不同的角的同名三角函数的值不等；

③若sinα>

0，则α是第一、二象限的角；

④若α是第二象限的角，且P（x，y）是其终边上一点，则cosα＝－，其中正确的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　B

解析　只有①正确．

2．当α为第二象限角时，－的值是（　　）

A．1B．0

C．2D．－2

解析　∵α为第二象限角，∴sinα>

∴－＝－＝2.

3．角α的终边经过点P（－b,4）且cosα＝－，则b的值为（　　）

A．3B．－3C．±

3D．5

解析　r＝，cosα＝＝＝－.

∴b＝3.

4．若tanx<

0，且sinx－cosx<

0，则角x的终边在（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

解析　∵tanx<

0，∴角x的终边在第二、四象限，

又sinx－cosx<

0，∴角x的终边在第四象限．故选D.

5．若三角形的两内角α，β满足sinαcosβ<

0，则此三角形必为（　　）

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．以上三种情况都可能

解析　∵sinαcosβ<

0，α，β∈（0，π），∴s