合肥一中高考冲刺最后一卷理数.docx
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合肥一中高考冲刺最后一卷理数
合肥一中2019年高考冲刺最后一卷
数学试题（理科）
（考试时间：
120分钟满分：
150分）
注意事项：
1．选择题用答题卡的考生，答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试题科目用2B铅笔涂写在答题卡上。
2．选择题用答题卡的考生，答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷和答题卷的选择题栏中；不用答题卡的考生，在答第I卷时，每小题选出答案后，填在答题卷相应的选择题栏上。
3．答题Ⅱ卷时，考生务必将自己的学校、姓名、考点、准考证号填在答题卷相应的位置；答题时，请用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卷上，不要在试题卷上答题。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·P（B）其中R表示球的半径
如果事件A在一次试验中发生的概率是球的体积公式
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k
次的概率其中R表示球的半径
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题：
（每小题5分，共50分）
1．已知=（）
A．B．C．D．
2．如图是将二进制数111111
（2）化为十进制数的一个程序框图，
判断框内应填入的条件是（）
A．B．
C．D．
3．已知集合
的取值范围是
（）
A．B．
C．[—1，2]D．
4．已知向量，
则向量=（）
A．（1，—3）B．（—1，3）
C．（6，—2）D．（—6，2）
5．已知函数，下面结论错误的是（）
A．函数的最小正周期是B．函数的图像关于直线对称
C．函数的区间上是增函数D．函数的图像关于点对称
6．等差数列若存在正整数则“”是“”的（）
A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．充要条件
7．设双曲线的一条渐近线与圆只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）
A．B．3C．D．
8．正方体ABCD—A1B1C1D1中，与直线AD、B1C、
A1C1都相交的直线（）
A．有且仅有一条B．有且仅有两条
C．有且仅有三条D．有无数条
9．第四届全国体育大会期间，5名志愿者被安排参加三个
不同比赛项目的接待服务工作，则每个项目至少有一
人参加的安排方法有（）
A．60种B．150种
C．240种D．540种
10．已知函数的零点个数为
（）
A．4B．5C．6D．7
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别为（单位：
克）x、127、y、125、123，且平均质量为125，则该样本方差s2的最小值为。
12．已知实数x、y满足的最小值为。
13．对任意的实数a、b，，则实数x的取值范围是。
14．由x轴、y轴和直线围成的三角形的三边与曲线共有4个公共点，则动点（a，b）所形成区域的面积为。
15．已知矩形ABCD中AB=4，BC=3，将其沿对角线AC折起，形成四面体ABCD，则以下命题正确的是：
（写出所有正确命题的序号）
①四面体ABCD体积最大值为；
②四面体ABCD中，AB⊥CD；
③四面体ABCD的侧视图可能是个等腰直角三角形；
④四面体ABCD的外接球表面积是25π
三、解答题（本题共75分）
16．（本题满分12分）
已知△ABC中，
（I）试判断△ABC的形状；
（II）求的值。
17．（本题满分12分）
如图所示，是合肥一中教学区示意图，现有甲乙丙丁4人来校加全国中学语文十校论坛，4人只能从校门进入校园，甲丁必从同一校门进校，甲乙丙3人从哪个校门进校互不影响，且每人从任何一校门进校都是等可能的。
（I）求仅有一人从西大门进入学校的概率；
（II）设4人中从西大门进入校园的人数为随机变量，求的数学期望和方差；
（III）设随机变量的最大值。
18．（本题满分12分）
如图，△ABC和△A1AC是正三角形，平面A1AC⊥底面ABC，A1B1⊥//AB，A1B1=AB=2，
（I）求直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值大小；
（II）已知点D是A1B1的中点，在平面ABCD内搁一点E，使DE⊥平面AB1C，求点E到AC和B的距离。
19．（本题满分12分）
过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线，叫做曲线在该点的法线．
已知抛物线C的方程为是C上任意点，过点M作C的切线l，法线m。
（I）求法线m与抛物线C的另一个交点N的横坐标取值范围；
（II）设点F是抛物线的焦点，连接FM，过点M作平行于y轴的直线n，设m与x轴的交点为S，n与x轴的交点为K，设l与x轴的交点为T，求证∠SMK=∠FMN
20．（本题满分13分）
已知函数有两个极值点。
（I）求实数a的取值范围；
（II）若存在实数a，使函数上单调递增，求实数b的取值范围。
21．（本题满分14分）
数列
（I）求证：
（II）求证：
；
（III）令的大小，并说明理由。
合肥一中2019年冲刺高考最后一卷
数学（理）参考答案
一、选择题：
ACCBCDDDBC
二、填空题：
11.12.13.14.15.①③④
三、解答题：
16.（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由得，
，即，根据正弦定理，
，……①，又由正弦定理及可知
，……②，由①②得，
所以是直角三角形，且；……………………8分
（Ⅱ）∵，∴，
从而，解得或（舍去），即
.……………12分
17.（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ），
即仅有一人从西大门进入学校的概率是；……………………4分
（Ⅱ）
0
1
2
3
4
；…………………8分
（Ⅲ）当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，；
综上，当时，……………12分
18.（本小题满分12分）
解：
∵平面底面，作于点，
∴底面.
又，和是正三角形，知，
∴，，……………2分
故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，.
由，可得.
∴，
设平面的法向量为，则，
解得
由……………6分
而与平面所成角，即向量与平面的法向量所成锐角的余角，
所以直线与平面所成角的正弦值为；……………7分
（几何方法也，对照给分）
（Ⅱ）连接，取中点，连接、，
易得，所以平面，
又四边形是正方形，所以,
又,∴平面,过作,很明显交于，此时点到和的距离分别是、.……………12分
19.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）易得直线的方程：
与联立得
，∴，，
易得
即取值范围是；……………6分
（Ⅱ）由题意得的方程，令得，∴
此时到直线的距离为，又方程：
，设到距离为，则，
∴，.……………13分
20.（本小题满分13分）
解（Ⅰ），由题意：
，又
①当时，，两根异号，不合题意；
②当时，可知，即，
此时由得，，……………4分
由下表
+
0
-
0
+
↗
↘
↗
故当时，函数的两个极值点.……………6分
（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得“，使对恒成立”，
由得，又恒成立，∴
或，从而.（其它解法参照给分）……………13分
21.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）由于，，，易知对，.
当时，可得，从而，
依此递推可得，从而
，……………4分
（Ⅱ）显然，由，可知：
，成立，即，
当时，，故，于是
…………
将经上各式相加得，即得
；（亦可用数学归纳法）……………9分
（Ⅲ）解法一：
，故.……………13分
解法二：
所以.
解法三：
从而，因此.
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