有趣的斐波那契数列例子文档格式.docx

有趣的斐波那契数列例子文档格式.docx

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　　注：

此时a1=1，a2=1，an=a（n-1）+a（n-2）（n>

=3,n∈N*）

通项公式的推导

　　斐波那契数列：

　　如果设F（n）为该数列的第n项（n∈N+）。

那么这句话可以写成如下形式：

　　F（0）=0，F

（1）=1，F（n）=F（n-1）+F（n-2）（n≥2），

　　显然这是一个线性递推数列。

　　方法一：

利用特征方程（线性代数解法）

　　线性递推数列的特征方程为：

　　X^2=X+1

　　解得

　　X1=（1+√5）/2,，X2=（1-√5）/2。

　　则F（n）=C1*X1^n+C2*X2^n。

　　∵F

（1）=F

（2）=1。

　　∴C1*X1+C2*X2。

　　C1*X1^2+C2*X2^2。

　　解得C1=1/√5，C2=-1/√5。

　　∴F（n）=（1/√5）*{[（1+√5）/2]^（n+1）-[（1-√5）/2]^（n+1）}（√5表示根号5）。

　　方法二：

待定系数法构造等比数列1（初等待数解法）

　　设常数r，s。

　　使得F（n）-r*F（n-1）=s*[F（n-1）-r*F（n-2）]。

　　则r+s=1，-rs=1。

　　n≥3时，有。

　　F（n）-r*F（n-1）=s*[F（n-1）-r*F（n-2）]。

　　F（n-1）-r*F（n-2）=s*[F（n-2）-r*F（n-3）]。

　　F（n-2）-r*F（n-3）=s*[F（n-3）-r*F（n-4）]。

　　……

　　F（3）-r*F

（2）=s*[F

（2）-r*F

（1）]。

　　联立以上n-2个式子，得：

　　F（n）-r*F（n-1）=[s^（n-2）]*[F

（2）-r*F

（1）]。

　　∵s=1-r，F

（1）=F

（2）=1。

　　上式可化简得：

　　F（n）=s^（n-1）+r*F（n-1）。

　　那么：

　　F（n）=s^（n-1）+r*F（n-1）。

　　=s^（n-1）+r*s^（n-2）+r^2*F（n-2）。

　　=s^（n-1）+r*s^（n-2）+r^2*s^（n-3）+r^3*F（n-3）。

　　=s^（n-1）+r*s^（n-2）+r^2*s^（n-3）+……+r^（n-2）*s+r^（n-1）*F

（1）。

　　=s^（n-1）+r*s^（n-2）+r^2*s^（n-3）+……+r^（n-2）*s+r^（n-1）。

　　（这是一个以s^（n-1）为首项、以r^（n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。

　　=[s^（n-1）-r^（n-1）*r/s]/（1-r/s）。

　　=（s^n-r^n）/（s-r）。

　　r+s=1，-rs=1的一解为s=（1+√5）/2，r=（1-√5）/2。

　　则F（n）=（1/√5）*{[（1+√5）/2]^（n+1）-[（1-√5）/2]^（n+1）}。

　　方法三：

待定系数法构造等比数列2（初等待数解法）

　　已知a1=1,a2=1,an=a（n-1）+a（n-2）（n>

=3）,求数列{an}的通项公式。

　　解:

设an-αa（n-1）=β（a（n-1）-αa（n-2））。

　　得α+β=1。

　　αβ=-1。

　　构造方程x^2-x-1=0,解得α=（1-√5）/2,β=（1+√5）/2或α=（1+√5）/2,β=（1-√5）/2。

　　所以。

　　an-（1-√5）/2*a（n-1）=（1+√5）/2*（a（n-1）-（1-√5）/2*a（n-2））=[（1+√5）/2]^（n-2）*（a2-（1-√5）/2*a1）`````````1。

　　an-（1+√5）/2*a（n-1）=（1-√5）/2*（a（n-1）-（1+√5）/2*a（n-2））=[（1-√5）/2]^（n-2）*（a2-（1+√5）/2*a1）`````````2。

　　由式1,式2,可得。

　　an=[（1+√5）/2]^（n-2）*（a2-（1-√5）/2*a1）``````````````3。

　　an=[（1-√5）/2]^（n-2）*（a2-（1+√5）/2*a1）``````````````4。

　　将式3*（1+√5）/2-式4*（1-√5）/2,化简得an=（1/√5）*{[（1+√5）/2]^n-[（1-√5）/2]^n}。

与黄金分割的关系

　　有趣的是：

这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。

而且当n无穷大时（an-1）/an越来越逼近黄金分割数0.618。

　　1÷

1=1，2÷

1=2，3÷

2=1.5，5÷

3=1.666...，8÷

5=1.6，…………，89÷

55=1.6181818…，…………233÷

144=1.618055…75025÷

46368=1.6180339889…。

..

　　越到后面，这些比值越接近黄金比.

　　证明:

　　a[n+2]=a[n+1]+a[n]。

　　两边同时除以a[n+1]得到：

　　a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。

　　若a[n+1]/a[n]的极限存在，设其极限为x，

　　则lim[n->

∞]（a[n+2]/a[n+1]）=lim[n->

∞]（a[n+1]/a[n]）=x。

　　所以x=1+1/x。

　　即x&

sup2;

=x+1。

　　所以极限是黄金分割比。

奇妙的属性

　　斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数、黄金矩形、黄金分割、等角螺线等，有时也可能是我们对斐波那契额数过于热衷，把原来只是巧合的东西强行划分为斐波那契数。

比如钢琴上白键的8，黑键上的5都是斐波那契数，因该把它看做巧合还是规律呢？

　　随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……

　　从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。

（注：

奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）

多了的一在哪？

如果你看到有这样一个题目：

　　某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故

　　作惊讶地问你：

为什么64=65？

其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：

5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积

　　确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。

　　斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。

　　斐波那契数列（f（n），f（0）=0，f

（1）=1，f

（2）=1，f（3）=2……）的其他性质：

　　1.f（0）+f

（1）+f

（2）+…+f（n）=f（n+2）-1。

　　2.f

（1）+f（3）+f（5）+…+f（2n-1）=f（2n）。

　　3.f

（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）=f（2n+1）-1。

　　4.[f（0）]^2+[f

（1）]^2+…+[f（n）]^2=f（n）·

f（n+1）。

　　5.f（0）-f

（1）+f

（2）-…+（-1）^n·

f（n）=（-1）^n·

[f（n+1）-f（n）]+1。

　　6.f（m+n-1）=f（m-1）·

f（n-1）+f（m）·

f（n）。

　　利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（logn）的程序。

　　怎样实现呢？

伪代码描述一下?

　　7.[f（n）]^2=（-1）^（n-1）+f（n-1）·

　　8.f（2n-1）=[f（n）]^2-[f（n-2）]^2。

　　9.3f（n）=f（n+2）+f（n-2）。

　　10.f（2n-2m-2）[f（2n）+f（2n+2）]=f（2m+2）+f（4n-2m）[n〉m≥-1,且n≥1]

11.f（2n+1）=[f（n）]^2+[f（n+1）]^2.

在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列

将杨辉三角依次下降，成如图所示排列，将同一行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……

　　公式表示如下：

　　f

（1）=C（0,0）=1。

　　f

（2）=C（1,0）=1。

　　f（3）=C（2,0）+C（1,1）=1+1=2。

　　f（4）=C（3,0）+C（2,1）=1+2=3。

　　f（5）=C（4,0）+C（3,1）+C（2,2）=1+3+1=5。

　　f（6）=C（5,0）+C（4,1）+C（3,2）=1+4+3=8。

　　F（7）=C（6,0）+C（5,1）+C（4,2）+C（3,3）=1+5+6+1=13。

　　F（n）=C（n-1,0）+C（n-2,1）+…+C（n-1-m,m）（m<

=n-1-m）

斐波那契数列的整除性与素数生成性

　　每3个数有且只有一个被2整除，

　　每4个数有且只有一个被3整除,

　　每5个数有且只有一个被5整除，

　　每6个数有且只有一个被8整除,

　　每7个数有且只有一个被13整除，

　　每8个数有且只有一个被21整除,

　　每9个数有且只有一个被34整除，

　　.......

　　我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：

5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）

　　斐波那契数列的素数无限多吗？

斐波那契数列的个位数：

一个60步的循环

　　11235,83145,94370,77415,61785.38190,

　　99875,27965,16730,33695,49325,72910…

斐波那契数与植物花瓣

　　3………………………百合和蝴蝶花

　　5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花

　　8………………………翠雀花

　　13………………………金盏

和玫瑰

　　21………………………紫宛

　　34、55、89……………雏菊

　　斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。

例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。

叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。

叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。

在一个循回中叶子数与叶子旋转