有趣的斐波那契数列例子文档格式.docx

1、注：此时a1=1，a2=1，an=a（n-1）+a（n-2）（n=3,nN*） 通项公式的推导斐波那契数列：如果设F（n）为该数列的第n项（nN+）。那么这句话可以写成如下形式：F（0） = 0，F（1）=1，F（n）=F（n-1）+F（n-2） （n2）， 显然这是一个线性递推数列。方法一：利用特征方程（线性代数解法） 线性递推数列的特征方程为：X2=X+1 解得 X1=（1+5）/2,，X2=（1-5）/2。则F（n）=C1*X1n + C2*X2n。F（1）=F（2）=1。C1*X1 + C2*X2。C1*X12 + C2*X22。解得C1=1/5，C2=-1/5。F（n）=（1/5）*

2、（1+5）/2（n+1） - （1-5）/2（n+1）（5表示根号5）。方法二：待定系数法构造等比数列1（初等待数解法） 设常数r，s。使得F（n）-r*F（n-1）=s*F（n-1）-r*F（n-2）。则r+s=1， -rs=1。n3时，有。F（n）-r*F（n-1）=s*F（n-1）-r*F（n-2）。F（n-1）-r*F（n-2）=s*F（n-2）-r*F（n-3）。F（n-2）-r*F（n-3）=s*F（n-3）-r*F（n-4）。 F（3）-r*F（2）=s*F（2）-r*F（1）。联立以上n-2个式子，得：F（n）-r*F（n-1）=s（n-2）*F（2）-r*F（1）。s=1-r

3、，F（1）=F（2）=1。上式可化简得：F（n）=s（n-1）+r*F（n-1） 。那么：F（n）=s（n-1）+r*F（n-1）。= s（n-1） + r*s（n-2） + r2*F（n-2）。= s（n-1） + r*s（n-2） + r2*s（n-3） + r3*F（n-3）。= s（n-1） + r*s（n-2） + r2*s（n-3） + r（n-2）*s + r（n-1）*F（1）。= s（n-1） + r*s（n-2） + r2*s（n-3） + r（n-2）*s + r（n-1）。（这是一个以s（n-1）为首项、以r（n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。=s（n

4、-1）-r（n-1）*r/s/（1-r/s）。=（sn - rn）/（s-r）。r+s=1， -rs=1的一解为 s=（1+5）/2，r=（1-5）/2。则F（n）=（1/5）*（1+5）/2（n+1） - （1-5）/2（n+1）。方法三：待定系数法构造等比数列2（初等待数解法） 已知a1=1,a2=1,an=a（n-1）+a（n-2）（n=3）,求数列an的通项公式。解 :设an-a（n-1）=（a（n-1）-a（n-2）。得+=1。=-1。构造方程x2-x-1=0,解得=（1-5）/2,=（1+5）/2或=（1+5）/2,=（1-5）/2。所以。an-（1-5）/2*a（n-1）=（1+

5、5）/2*（a（n-1）-（1-5）/2*a（n-2）=（1+5）/2（n-2）*（a2-（1-5）/2*a1）1。an-（1+5）/2*a（n-1）=（1-5）/2*（a（n-1）-（1+5）/2*a（n-2）=（1-5）/2（n-2）*（a2-（1+5）/2*a1）2。由式1,式2,可得。an=（1+5）/2（n-2）*（a2-（1-5）/2*a1）3。an=（1-5）/2（n-2）*（a2-（1+5）/2*a1）4。将式3*（1+5）/2-式4*（1-5）/2,化简得an=（1/5）*（1+5）/2n - （1-5）/2n。与黄金分割的关系有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却

6、是用无理数来表达的。而且当n无穷大时（an-1）/an越来越逼近黄金分割数0.618。11=1，21=2，32=1.5，53=1.666.，85=1.6，8955=1.6181818，233144=1.6180557502546368=1.6180339889。. 越到后面，这些比值越接近黄金比. 证明:an+2=an+1+an。两边同时除以an+1得到：an+2/an+1=1+an/an+1。若an+1/an的极限存在，设其极限为x， 则limn-（an+2/an+1）=limn-（an+1/an）=x。所以x=1+1/x。即x²=x+1。所以极限是黄金分割比 。奇妙的属性斐波那契

7、数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数、黄金矩形、黄金分割、等角螺线等，有时也可能是我们对斐波那契额数过于热衷，把原来只是巧合的东西强行划分为斐波那契数。比如钢琴上白键的8，黑键上的5都是斐波那契数，因该把它看做巧合还是规律呢？随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887 从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5

8、都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通） 多了的一在哪？如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故 作惊讶地问你：为什么64=65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积 确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。斐波那契数列的第n项同时也代表了集合1,2,.,n中所有不包含相邻正整数的子集个数。斐波那契数列（f（n），f（0）=0，f（1）=1，f（2）=1，f（3）=2）的其他性质：1.f（0）+f（1）+f（2）+f（n）=f（n+2）-1。2.f（1）+f（3）+f

9、（5）+f（2n-1）=f（2n）。3.f（2）+f（4）+f（6）+f（2n） =f（2n+1）-1。4.f（0）2+f（1）2+f（n）2=f（n）f（n+1）。5.f（0）-f（1）+f（2）-+（-1）nf（n）=（-1）nf（n+1）-f（n）+1。6.f（m+n-1）=f（m-1）f（n-1）+f（m）f（n）。利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。怎样实现呢？伪代码描述一下?7.f（n）2=（-1）（n-1）+f（n-1）8.f（2n-1）=f（n）2-f（n-2）2。9.3f（n）=f（n+2）+f（n-2）。10.f（2n-2m-2）f（2n）+f（

10、2n+2）=f（2m+2）+f（4n-2m） nm-1,且n1 11.f（2n+1）=f（n）2+f（n+1）2. 在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列将杨辉三角依次下降，成如图所示排列，将同一行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、 公式表示如下：f（1）=C（0,0）=1 。f（2）=C（1,0）=1 。f（3）=C（2,0）+C（1,1）=1+1=2 。f（4）=C（3,0）+C（2,1）=1+2=3 。f（5）=C（4,0）+C（3,1）+C（2,2）=1+3+1=5 。f（6）=C（5,0）+C（4,1）+C（3,2）=1+4+3=8 。F（7）=C（6,0）+C（5,1）+C（4

11、,2）+C（3,3）=1+5+6+1=13 。F（n）=C（n-1,0）+C（n-2,1）+C（n-1-m,m） （m=n-1-m） 斐波那契数列的整除性与素数生成性每3个数有且只有一个被2整除， 每4个数有且只有一个被3整除, 每5个数有且只有一个被5整除， 每6个数有且只有一个被8整除, 每7个数有且只有一个被13整除， 每8个数有且只有一个被21整除, 每9个数有且只有一个被34整除， . 我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是） 斐波那契数列的素数无限多吗？斐波那契数列的个位数：一个60步的循环11235,83145,94370,77415,61785.38190, 99875,27965,16730,33695,49325,72910 斐波那契数与植物花瓣3百合和蝴蝶花 5蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花 8翠雀花 13金盏 和玫瑰 21紫宛 34、55、89雏菊 斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转