判定平行四边形五种方法文档格式.docx
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题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件.
因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB.
因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE,
所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，
所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.
四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别
例4如图4，在平行四边形ABCD中，∠DAB、∠BCD的平分线分别交BC、AD边于点E、F，则四边形AECF是平行四边形吗？
为什么？
分析：
由平行四边形的性质易得AF∥EC，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.
四边形AECF是平行四边形.
理由：
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，∠DAB=∠BCD，
所以AF∥EC.又因为∠1=∠DAB，∠2=∠BCD，
所以∠1=∠2.因为AD∥BC，所以∠2=∠3，
所以∠1=∠3，所以AE∥CF.
所以四边形AECF是平行四边形.
判定平行四边形的五种方法
平行四边形的判定方法有：
（1）证两组对边分别平行；
（2）证两组对边分别相等；
（3）证一组对边平行且相等；
（4）证对角线互相平分；
（5）证两组对角分别相等。
下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。
一、两组对边分别平行
如图1，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF
（1）请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。
（1）选证△BDE≌△FEC
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACD=60°
∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC是等边三角形
∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120°
又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC
（2）四边形ABDF是平行四边形
由
（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形
∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°
∴AB∥DF，BD∥AF
∵四边形ABDF是平行四边形。
点评：
当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。
二、一组对边平行且相等
例2已知：
如图2，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连结BG并延长交DE于F
（1）求证：
△BCG≌△DCE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°
得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？
并说明理由。
（2）由于ABCD是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG，所以E′A=CG，这样就有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。
（1）∵ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠DCE=90°
又∵CG=CE，△BCG≌△DCE
（2）∵△DCE绕D顺时针
旋转90°
得到△DAE′，
∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，
∵四边形ABCD是正方形
∴BE′∥DG，AB=CD
∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG
∴四边形DE′BG是平行四边形
当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形
三、两组对边分别相等
例3如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF。
求证：
四边形DAEF是平行四边形；
利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。
∵△ABD和△FBC都是等边三角形
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°
∴∠DBF=∠ABC
又∵BD=BA，BF=BC∴△ABC≌△DBF
∴AC=DF=AE同理△ABC≌△EFC
∴AB=EF=AD
∴四边形ADFE是平行四边形
题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四边形。
四、对角线互相平分
例4已知：
如图4，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC于H，求证：
四边形EFGH是平行四边形。
图4
因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。
∵AE⊥BD，CG⊥BD，
∴∠AEO=∠CGO，
∵∠AOE=∠COG，OA=OC
∴△AOE≌△COG，∴OE=OG
同理△BOF≌△DOH
∴OF=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。
五、两组对角相等
例5将两块全等的含30°
角的三角尺如图1摆放在一起
四边形ABCD是平行四边形吗？
理由。
（1）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？
说出你的结论和理由：
。
因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。
（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°
+90°
=120°
，
∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°
+30°
又∠A=60°
，∠C=60°
∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C
（2）四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：
将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1
∴∠C1BB1=∠AD1D，∠BC1B1=∠DAD1
∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD1C1，∠BC1D1=
∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB
所以四边形ABC1D1是平行四边形
（2）也可这样证明：
由
（1）知ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，将
Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，始终有AB∥C1D1，故ABC1D1是平行四边形。
判断平行四边形的策略
在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：
一、考虑“对边”关系
思路1：
证明两组对边分别相等
例1如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝90°
，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE.求证：
四边形ACEF是平行四边形.
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DF⊥BC，DB=DC.
∴∠FDB=∠ACB=90°
.
∴DF∥AC.∴CE=AE=AB.
∴∠1=∠2.
又∵EF∥AC，AF=CE=AE，
∴∠2=∠1=∠3=∠F.
∴△ACE≌△EFA.
∴AC=EF.
∴四边形ACEF是平行四边形.
思路2：
证明两组对边分别平行
例2已知：
如图2，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，D在BC上，延长ED到F，使ED=DF=EB.连结FC.
四边形AEFC是平行四边形.
∵AB＝AC，∴∠B=∠ACB.
∵ED=EB，∴∠B=∠EDB.
∴∠ACB=∠EDB.∴EF∥AC.
∵E是AB的中点，∴BD=CD.
∵∠EDB=∠FDC，ED=DF，
∴△EDB≌△FDC.∴∠DEB=∠F.
∴AB∥CF.
∴四边形AEFC是平行四边形.
思路3：
证明一组对边平行且相等
例3如图3，已知平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点.
四边形ENFM是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C.
A
B
C
D
E
F
M
N
33
2
1
又∵AE=CF，∴△ADE≌△CBF.
∴∠1=∠2，DE=BF.
∵M、N分别是DE、BF的中点，
∴EM=FN.
∵DC∥AB，∴∠3=∠2.
∴∠1=∠3.∴EM∥FN.
∴四边形ENFM是平行四边形.
二、考虑“对角”关系
思路：
证明两组对角分别相等
例4如图4，在正方形ABCD中，点E、
F分别是AD、BC的中点.
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形BFDE是平行四边形.
（1）在正方形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=
90°
，∵AE=AD，CF=BC，
∴AE=CF.∴△ABE≌△CDF.
（2）由
（1）△ABE≌△CDF知，∠1=∠2，∠3=∠4.
∴∠BED=∠DFB.
∵在正方形ABCD中，∠ABC=∠ADC，
∴∠EBF=∠EDF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
三、考虑“对角线”的关系
证明两条对角线相互平分
例5如图5，在平行四边形ABCD中，P1、P2是对角线BD的三等分点.
四边形AP1CP2是平行四边形.
O
P1
P2
（图5）
连结AC交BD于O.
∴OA=OC，OB=OD.
∵BP1=DP2，∴OP1=OP2.
∴四边形AP1CP2是平行四边形.
平行四边形的识别浅析
平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。
识别平行四边形是利用边、角和对角线的特点，而且只需要两个条件，为了更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形，我们把这些条件总结如下。
1利用定义或定理直接识别平行四边形
1.1两组
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