高中数学完整讲义导数及其应用导数的概念与几何意义Word格式.docx
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4．导数的几何意义：
设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率．
由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于．
典例分析
题型一：
极限与导数
【例1】正三棱锥相邻两侧面所成的角为，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【例2】在正棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（）
【例3】对于任意都有（）
A．B．
C．D．
【例4】若，则________．
【例5】若，则_______．
【例6】设在可导，则等于（）
【例7】若，则等于（）
【例8】设在处可导，为非零常数，则（）．
【例9】设，则（）
【例10】若，则当无限趋近于时，______．
【例11】已知函数，则的值为．
【例12】已知，则的值是（）
【例13】若，则_______．
【例14】已知函数在处可导，则（）
【例15】计算________．
【例16】_______．
【例17】将直线、（，）轴、轴围成的封闭图形的面积记为，则．
【例18】
（）
A．B．C．D．不存在
【例19】如图，在半径为的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去．设为前个圆的面积之和，则（）
【例20】______．
【例21】若，则常数_______．
【例22】_____．
【例23】_________
【例24】________．
【例25】__________．
【例26】
A．B．C．D．
【例27】．
【例28】设函数，其中，已知对一切，有和，求证：
．
【例29】如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则；
函数在处的导数．
【例30】如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，，，则；
．（用数字作答）
【例31】下列哪个图象表示的函数在点处是可导的（）
【例32】函数在闭区间内的平均变化率为（）
【例33】求函数在到之间的平均变化率．
【例34】若函数，则当时，函数的瞬时变化率为（）
A．1B．C．2D．
【例35】求函数在附近的平均变化率，在处的瞬时变化率与导数．
【例36】求函数在附近的平均变化率，在处的瞬时变化率与导数．
【例37】已知某物体的运动方程是，则当s时的瞬时速度是_______．
【例38】已知某物体的运动方程是，则时的瞬时速度是_______．
【例39】已知物体的运动方程是，则物体在时刻时的速度____，加速度．
【例40】物体运动方程为，则时瞬时速度为（）
A．2B．4C．6D．8
【例41】一质点做直线运动，由始点起经过s后的距离为，
则速度为零的时刻是（）
A．4s末B．8s末C．0s与8s末D．0s，4s，8s末
【例42】如果某物体做运动方程为的直线运动（的单位为m，的单位为s），那么其在s末的瞬时速度为（）
A．m/sB．m/sC．m/sD．m/s
【例43】求在处的导数．
题型二：
导数的几何意义
【例44】已知曲线上一点，用斜率定义求：
⑴过点的切线的斜率；
⑵过点的切线方程．
【例45】已知曲线上一点，用斜率定义求：
⑴过点A的切线的斜率；
⑵过点A的切线方程．
【例46】函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）
【例47】求函数的图象上过点的切线方程．
【例48】曲线在点处的切线方程是（）
【例49】求曲线在点的切线方程，与过点的切线的方程．
【例50】函数在点处的切线方程为（）
【例51】已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为_______．
【例52】曲线在点处的切线的倾斜角为（）
A．B．C．D．
【例53】过点作曲线的切线，则切线方程为__________．
【例54】曲线在点处的切线方程为__．
【例55】若曲线与在处的切线互相垂直，则等于（）
A．B．C．D．或
【例56】设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）
A．2B．C．D．
【例57】设曲线在点处的切线与直线平行，则（）
A．B．C．D．
【例58】若曲线的一条切线与直线平行，则的方程为______________．
【例59】若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）
【例60】设为曲线：
上一点，曲线在点处的切线的斜率的范围是，则点纵坐标的取值范围是_______．
【例61】设为曲线：
上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（）
A．B．C．D．
【例62】曲线在点处的切线方程为（）
A．B．C．D．
【例63】设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（）
A． B． C． D．
【例64】设是偶函数．若曲线在点处的切线的斜率为，则该曲线在点处的切线的斜率为．
【例65】函数的图象上一点处的切线的斜率为（）
A．1B．C．D．
【例66】曲线上的点到直线的最短距离是（）
A．B．C．D．0
【例67】在平面直角坐标系中，点在曲线上，且在第二象限内，已知曲线在点处的切线的斜率为2，则点的坐标为．
【例68】抛物线在点处的切线与其平行线间的距离为________．
【例69】若是曲线的一条切线，则（）
A．B．0C．1D．2
【例70】函数的图像在点处的切线与轴交点的横坐标为，其中，若，则的值是．
【例71】已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）
【例72】曲线在点处的切线方程为（）
A．B．C．D．
【例73】若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，
则（）
A．64B．32C．16D．8
【例74】函数的图象在点处的切线方程是．
【例75】设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于（）
A．B．C．D．
【例76】直线与曲线相切，则（）
【例77】已知直线与曲线相切，则的值为（）
A．B．C．D．
【例78】在平面直角坐标系中，点在曲线：
上，且在第二象限内，已知曲线在点处的切线的斜率为，则点的坐标为____．
【例79】若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（）
A．或B．或C．或D．或
【例80】已知函数的图象在点处的切线方程为，又点的横坐标为，则________．
【例81】设曲线在点处的切线与直线平行，则实数等于（）
【例82】已知函数和的图象在处的切线互相平行，则_______．
【例83】⑴曲线在点处的切线方程是____．
⑵曲线过点的切线方程是_________．
【例84】已知曲线，则过点的切线方程是_______．
【例85】已知曲线：
及点，则过点可向引切线的条数为_____．
【例86】曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是______．
【例87】曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）
【例88】曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为，则．
【例89】曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）
A．B．C．D．
【例90】求曲线的斜率等于的切线方程．
【例91】若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________．
【例92】曲线在点处的切线方程是．
【例93】函数在点处的切线方程是（）
【例94】已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（）
A．B．C．D．
【例95】已知曲线：
，求曲线上横坐标为的点的切线方程．
【例96】已知抛物线通过点，且在点处与直线相切，求实数、、的值．
【例97】曲线有两条平行于直线的切线，求此二切线之间的距离．
【例98】已知曲线，求经过点且与曲线相切的直线的方程．
【例99】已知曲线在点处的切线平行直线，且点在第三象限，
⑴求的坐标；
⑵若直线，且也过切点，求直线的方程．
【例100】已知函数．
若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求，的值．
【例101】已知函数（）的导函数是，且是奇函数，若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）
【例102】已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为．求函数的解析式．
【例103】已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且，
⑴求直线的方程；
⑵求由直线、和轴所围成的三角形的面积．
【例104】设函数，曲线在点处的切线方程为．
⑴求的解析式；
⑵证明：
曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
【例105】设函数，曲线在点处的切线方程为．
曲线的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
⑶证明：
曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
【例106】已知抛物线：
和：
，如果直线同时是和的切线，称是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．
⑴则取什么值时，和有且仅有一条公切线？
写出此公切线的方程．
⑵若和有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．
【例107】设，点是函数与的图象的一个公共点，两函数的图象在点处有相同的切线．试用表示．
【例108】已知曲线：
与：
，直线与都相切，求直线的方程．
【例109】已知函数．
⑴求曲线在点处的切线方程；
⑵求曲线过点的切线的方程．
⑶设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：
⑷求过任一点能作的曲线
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