高考抛物线考试结论大全Word格式.doc

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成立；

当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：

.代入抛物线方程：

.化简得：

∵方程

（1）之二根为x1，x2，∴.

.

故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有成立.

（3）切线——抛物线与函数有缘

有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.

【例3】证明：

过抛物线上一点M（x0，y0）的切线方程是：

y0y=p（x+x0）

【证明】对方程两边取导数：

.由点斜式方程：

y0y=p（x+x0）

（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏

抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.

例如：

1.一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（）

显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.

2.抛物线的通径长为2p；

3.设抛物线过焦点的弦两端分别为，那么：

以下再举一例

【例4】设抛物线的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：

以A1B1为直径的圆必过一定点

【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：

一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.

【证明】如图设焦点两端分别为，

那么：

设抛物线的准线交x轴于C，那么

这就说明：

以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.

●通法特法妙法

（1）解析法——为对称问题解困排难

解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.

【例5】

（07.四川文科卷.10题）已知抛物线

y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点

A、B，则|AB|等于（）

A.3B.4C.3D.4

【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段

AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.

【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称，∴设直线AB的方程为：

.由

设方程

（1）之两根为x1，x2，则.

设AB的中点为M（x0，y0），则.代入x+y=0：

y0=.故有.

从而.直线AB的方程为：

.方程

（1）成为：

.解得：

，从而，故得：

A（-2，-1），B（1，2）.，选C.

（2）几何法——为解析法添彩扬威

虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.

【例6】

（07.全国1卷.11题）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积（）

A． B． C． D．

【解析】如图直线AF的斜率为时∠AFX=60°

△AFK为正三角形.设准线交x轴于M，则

且∠KFM=60°

，∴.选C.

【评注】

（1）平面几何知识：

边长为a的正三角形的

面积用公式计算.

（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.

（3）定义法——追本求真的简单一着

许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.

【例7】

（07.湖北卷.7题）双曲线

的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；

抛物线的线为，焦点为与的一个交点为，则等于（）

A． B． C． D．

【分析】这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.

如图，我们先做必要的准备工作：

设双曲线的半

焦距c，离心率为e，作，令

.∵点M在抛物线上，

这就是说：

的实质是离心率e.

其次，与离心率e有什么关系？

注意到：

这样，最后的答案就自然浮出水面了：

由于.∴选A..

（4）三角法——本身也是一种解析

三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.

因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.

【例8】

（07.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。

（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交

x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。

【解析】

（Ⅰ）焦点F（2，0），准线.

（Ⅱ）直线AB：

代入

（1），整理得：

设方程

（2）之二根为y1，y2，则.

设AB中点为

AB的垂直平分线方程是：

令y=0，则

故

于是|FP|-|FP|cos2a=，故为定值.

（5）消去法——合理减负的常用方法.

避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.

【例9】是否存在同时满足下列两条件的直线：

（1）与抛物线有两个不同的交点A和B；

（2）线段AB被直线：

x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线的方程.

【解析】假定在抛物线上存在这样的两点

∵线段AB被直线：

x+5y-5=0垂直平分，且

设线段AB的中点为.代入x+5y-5=0得x=1.于是：

AB中点为.故存在符合题设条件的直线，其方程为：

（6）探索法——奔向数学方法的高深层次

有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”.

【例10】

（07.安徽卷.14题）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1,△Q2P1P2,…,△Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为.

【解析】∵

设OA上第k个分点为

第k个三角形的面积为：

.

故这些三角形的面积之和的极限

抛物线定义的妙用

对于抛物线有关问题的求解，若能巧妙地应用定义思考，常能化繁为简，优化解题思路，提高思维能力。

现举例说明如下。

一、求轨迹（或方程）

例1.已知动点M的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（）

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不对

解：

由题意得：

即动点到直线的距离等于它到原点（0，0）的距离

由抛物线定义可知：

动点M的轨迹是以原点（0，0）为焦点，以直线为准线的抛物线。

故选C。

二、求参数的值

例2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点距离为5，求m的值。

设抛物线方程为，准线方程：

∵点M到焦点距离与到准线距离相等

解得：

∴抛物线方程为

把代入得：

三、求角

例3.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为，则__________。

A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

图1

如图1，由抛物线的定义知：

则

由题意知：

即

四、求三角形面积

例4.设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若，。

求△OPQ的面积。

解析：

如图2，不妨设抛物线方程为，点、点

图2

则由抛物线定义知：

又，则

由得：

又PQ为过焦点的弦，所以

所以，

点评：

将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合抛物线方程，利用韦达定理是常见的基本技能。

五、求最值

例5.设P是抛物线上的一个动点。

（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线的距离之和的最小值；

（2）若B（3，2），求的最小值。

（1）如图3，易知抛物线的焦点为F（1，0），准线是

由抛物线的定义知：

点P到直线的距离等于点P到焦点F的距离。

于是，问题转化为：

在曲线上求一点P，使点P到点A（-1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小。

显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为，即为。

图3

（2）如图4，自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点，则

，则有

即的最小值为4

图4

本题利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解。

六、证明

例6.求证：

以抛物线过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。

证明：

如图5，设抛物线的准线为，过A、B两点分别作AC、BD垂直于，垂足分别为C、D。

取线段AB中点M，作MH垂直于H。

图5

由抛物线的定义有：

∵ABDC是直角梯形

即为圆的半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直，故本题得证。

抛物线与面积问题

抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。

解答此类问题时，要充分利用抛物线和面积的有关知识，重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离，得出相应的线段长或高，从而求解。

例1.如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，0）。

点C（0，5）、点D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点。

（1）求抛物线的解析式；

（2）求△MCB的面积。

（1）设抛物线的解析式为

，根据题意得

，解得

∴所求的抛物线的解析式为

（2）∵C点坐标为（0，5），∴OC＝5

令，则，

解得

∴B点坐标为（5，0），OB＝5

∵，

∴顶点M的坐标为（2，9）

过点M作MN⊥AB于点N，

则ON＝2，MN＝9

∴

例2.如图2，面积为18的等腰直角三角形OAB的一条直角边OA在x轴上，二次函数的图像过原点、A点和斜边