最新全等三角形的讲义整理讲义1Word格式文档下载.docx

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（3）心态问题

此次调查以女生为主，男生只占很少比例，调查发现58％的学生月生活费基本在400元左右，其具体分布如（图1-1）

参考文献与网址：

全等三角形

专题一全等三角形的性质

【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。

）

【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；

重合的边叫做对应边；

重合的角叫做对应角。

【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：

（1）AB与是对应边，BC与是对应边，

CA与是对应边；

（2）∠A与是对应角，∠ABC与是对应角，

∠BAC与是对应角

【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。

（1）有公共边的，公共边一定是对应边；

（2）有公共角的，公共角一定是对应角；

（3）有对顶角的，对顶角是对应角；

（4）在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。

【练习1】如图，图中有两对三角形全等，填空：

（1）△BOD≌；

（2）△ACD≌.

【知识点3】全等三角形的对应边相等，对应角相等。

（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相等，对应角的角平分线相等）

【例题2】（海南省中考卷第5题）已知图2中的两个三角形全等，则∠度数是（）

A.72°

B.60°

C.58°

D.50°

【例题3】

（清远）如图，若，且，则=．

【练习2】如图，，=30°

，则的度数为（）

A20°

B．30°

C．35°

D．40°

【练习3】如图，△ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90°

到△EBC，

且∠ABD=90°

。

（1）△ABD和△EBC是否全等？

如果全等，请指出对应边与对应角。

（2）若AB=3cm,BC=5cm,你能求出DE的长吗？

（3）直线AD和直线CE有怎样的位置关系？

请说明理由。

专题二全等三角形的判定

【知识点1】SSS：

三边对应相等的两个三角形全等。

简写为“边边边”或“SSS"

.

【例题1】如图，AB=AD，BC=CD求证：

∠BAC=∠DAC。

【练习1】已知：

如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，

BC＝EF，求证：

△ABC≌△DEF．

【知识点2】SAS:

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，

简写为“边角边”或“SAS"

【例题2】已知：

如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．

求证：

DC∥AB．

【练习2】已知：

如图，AE∥BF，AB=CD，AE=BF.

△AEC≌△BFD

【练习3】如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE，

AC⊥CE．若将CD沿CB方向平移得到图

（2）（3）（4）（5）的情形，其余条件不变，结论AC1⊥C2E还成立吗？

请说明理由．

【知识点3】ASA：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，

（可以简写为“角边角”或“ASA”）

【例题3】已知：

如图，∠AOD=∠BOC，∠A=∠C，O是AC的中点。

求证：

△AOB≌△COD．

【练习4】1、如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，

求证:

∠5=∠6．

2、如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，求证：

AB=AD。

3、如图，已知：

△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°

，分别过B，C向过A的直线作垂线，垂足为E，F。

（1）证明：

过A的直线与斜边BC不相交时，则有EF=BE+CF，如图1。

（2）如图2，过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，你能得到什么结论？

请给出证明。

【知识点4】AAS:

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，（可以简写为“角角边”或“AAS”）

这一结论很容易由ASA推得：

因为三角形的内角和等于180°

，因此有两个角分别对应相等，那么第三个角必对应相等，于是由“角边角”，便可证得这两个三角形全等．

所以两个三角形如果具备两个角和一条边对应相等，就可以判断其相等。

【例题4】1、下列说法中：

①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；

②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；

③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是（　　）

A．①和②　　B．②和③　　C．①和③　　D．①②③

2、已知：

如图，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：

BE=CD．

【练习6】1、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，

DF⊥AC于F，△ABC面积是28，AB＝20cm，AC＝8cm，求DE的长．

2、△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°

，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：

∠ADC＝∠BDE．

【知识点5】HL:

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，

（可以简写为“斜边，直角边”或“HL”）

【例题5】

（1）证明两个直角三角形全等的方法有

（2）根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC的是（　　　）

A．AB＝3，BC＝4，AC＝8；

B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30；

C.∠A＝60，∠B＝45，AB＝4；

D.∠C＝90，AB＝6

（3）已知：

如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE

OB=OC.

（4）如图，∠ACB=90°

，AC=BC，D为AB上一点，AE⊥CD于E，BF⊥DC交CD的延长线于F．求证：

BF=CE．

【练习2】1、对于下列各组条件，不能判定△≌△的一组是（）

（A）∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB=A′B′

（B）∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′

（C）∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′

（D）AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′

（2）

专题三角的平分线的性质

【知识点1】角的平分线：

把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线

【例题1】1、已知∠BAC，作∠BAC的平分线。

（尺规作图）

2、直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（）

A．45°

B．135°

C．45°

或135°

D．都不对

【知识点2】角的平分线的性质定理：

角平分线上的点到角两边的距离相等。

【例题2】1、△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠A的平分线交BC于点D，若CD＝8cm，则点D到AB的距离为＿＿＿＿cm．

2、如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°

BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于

A.2cm 

B.3cm 

C.4cm 

D.5cm

2、如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF 

②△BDF≌△CDE 

③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是

A.只有① 

B.只有②

C.只有①和② 

D.①，②与③

3、如图，已知△ABC中，E是AB延长线上的一点，AE=AC，AD平分∠A，BD=BE。

∠ABC=2∠C。

【知识点3】角平分线的判定

方法1：

（角平分线的定义）把一个角分成两个相等的角的射线叫做角平分线。

方法2：

（角平分线的判定定理）到角两边的距离相等的点在角的平分线上。

（此命题与角的性质定理的已知和结论都不同）

【例题3】1、如图中，E是AB延长线上一点，AC⊥BC、AD⊥BD、AC=AD，求证：

∠DEA=∠CEA。

2、如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边在直线的同旁作等边三角形ABD、BCE，连结AE交BD于M，连结CD交BE于N，连结MN，求证：

△BMN是等边三角形。

3、已知：

如图，AO平分∠EAD和∠EOD；

①△AOE≌△AOD②EB=DC

4、如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：

AE平分∠FAC.

第二章轴对称

专题一：

轴对称

【基础练习】

1.（2010•日照）已知上面四个汽车标志图案，其中是轴对称图形的图案是______________。

（只需填入图案代号）．

2.（2008•贵阳）如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为_____________cm2．

3.下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（）

4.下图均为7×

6的正方形网格，点A、B、C在格点上．在图中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（要求：

分别在图①、图②、图③中画出三个互不相同的图形）

5.（2009•河南）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（　　）

轴对称的性质：

专题二：

线段的垂直平分线

【基础练习】

1.（2010•无锡）如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°

，∠ACB=80°

，则∠BCE=_____度

（1题）（2题）（4题）（5题）

2.（2010•黄石）如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°

，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为___________

3.（2