冀教版年高一数学期中测试题及答案3.docx
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冀教版年高一数学期中测试题及答案3
2016-2017学年河北省廊坊市固安三中高二（下）期中数学试卷（理科）
一、选择题（共12道题，每题5分，共60分）
1．复数等于（ ）
A．1+2iB．1﹣2iC．2+iD．2﹣i
2．若y=lnx，则其图象在x=2处的切线斜率是（ ）
A．1B．C．2D．0
3．下列各式中正确的是（ ）
A．（logax）′=B．（logax）′=C．（3x）′=3xD．（3x）′=3xln3
4．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+y′2=0，则曲线C的方程为（ ）
A．25x2+9y2=0B．25x2+9y2=1C．9x2+25y2=0D．9x2+25y2=1
5．函数y=x﹣ex的增区间为（ ）
A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）
6．若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程是（ ）
A．4x﹣y﹣3=0B．x+4y﹣5=0C．4x﹣y+3=0D．x+4y+3=0
7．己知f（x）=﹣x3﹣x，x∈[m，n]，且f（m）•f（n）＜0，则方程f（x）=0在区间[m，n]上（ ）
A．至少有三个实数根B．至少有两个实根
C．有且只有一个实数根D．无实根
8．如图，阴影部分的面积为（ ）
A．2B．2﹣C．D．
9．若圆的方程为（θ为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交过圆心B．相交但不过圆心
C．相切D．相离
10．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（ ）
A．B．C．D．
11．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ）
A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
12．已知a≥0，函数f（x）=（x2﹣2ax）ex，若f（x）在[﹣1，1]上是单调减函数，则a的取值范围是（ ）
A．（0，）B．（，）C．（0，）D．[，+∞）
二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）
13．直角坐标P（﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π） ．
14．观察下列等式：
①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=；
②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=．
由上面两题的结构规律，你是否能提出一个猜想？
并证明你的猜想．
15．函数f（x）的定义域为R，且满足f
（2）=2，f′（x）﹣1＞0，则不等式f（x）﹣x＞0的解集为 ．
16．设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lgxn，则a1+a2+…+a99的值为 ．
三．解答题（每题12分，共计70分）
17．已知圆O的参数方程为（θ为参数，0≤θ＜2π）．
（1）求圆心和半径；
（2）若圆O上点M对应的参数θ=，求点M的坐标．
18．己知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．
19．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ=4cosθ，直线l的方程为（t为参数），直线l与曲线C的公共点为T．
（1）求点T的极坐标；
（2）过点T作直线l1，若l1被曲线C截得的线段长为2，求直线l1的极坐标方程．
20．设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．
（1）若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；
（2）若f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，求a的取值范围．
21．已知数列{an}满足a1=a，an+1=（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
22．已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．
（1）求a的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；
（3）证明：
（n∈N*）．
2016-2017学年河北省廊坊市固安三中高二（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12道题，每题5分，共60分）
1．复数等于（ ）
A．1+2iB．1﹣2iC．2+iD．2﹣i
【考点】A5：
复数代数形式的乘除运算．
【分析】将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用两个向量的乘法法则化简．
【解答】解：
复数===2+i，
故选C．
2．若y=lnx，则其图象在x=2处的切线斜率是（ ）
A．1B．C．2D．0
【考点】6H：
利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出函数的导数，然后求解切线的斜率．
【解答】解：
y=lnx，可得：
y′=，则其图象在x=2处的切线斜率．
故选：
B．
3．下列各式中正确的是（ ）
A．（logax）′=B．（logax）′=C．（3x）′=3xD．（3x）′=3xln3
【考点】63：
导数的运算．
【分析】根据题意，由导数的计算公式可得（logax）′=，（3x）′=3xln3，分析选项即可得答案．
【解答】解：
根据题意，对于函数y=logax，其导数y′=，
则A、B均错误；
对于函数y=3x，其导数y′=3xln3，
则C错误，D正确；
故选：
D．
4．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+y′2=0，则曲线C的方程为（ ）
A．25x2+9y2=0B．25x2+9y2=1C．9x2+25y2=0D．9x2+25y2=1
【考点】Q5：
平面直角坐标轴中的伸缩变换．
【分析】把变换公式代入x′2+y′2=0即可得出变换前的曲线方程．
【解答】解：
把代入方程x′2+y′2=0，得25x2+9y2=0，
∴曲线C的方程为25x2+9y2=0．
故选A．
5．函数y=x﹣ex的增区间为（ ）
A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）
【考点】6B：
利用导数研究函数的单调性．
【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．
【解答】解：
函数的导数f′（x）=1﹣ex，
由f′（x）＞0得f′（x）=1﹣ex＞0，即ex＜1即x＜0，
即函数的单调递增区间为（﹣∞，0），
故选：
C．
6．若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程是（ ）
A．4x﹣y﹣3=0B．x+4y﹣5=0C．4x﹣y+3=0D．x+4y+3=0
【考点】6H：
利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】欲求l的方程，根据已知条件中：
“切线l与直线x+4y﹣8=0垂直”可得出切线的斜率，故只须求出切点的坐标即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切点坐标．从而问题解决．
【解答】解：
设与直线x+4y﹣8=0垂直的直线l为：
4x﹣y+m=0，
即曲线y=x4在某一点处的导数为4，
而y′=4x3，∴y=x4在（1，1）处导数为4，
将（1，1）代入4x﹣y+m=0，得m=﹣3，
故l的方程为4x﹣y﹣3=0．
故选A．
7．己知f（x）=﹣x3﹣x，x∈[m，n]，且f（m）•f（n）＜0，则方程f（x）=0在区间[m，n]上（ ）
A．至少有三个实数根B．至少有两个实根
C．有且只有一个实数根D．无实根
【考点】52：
函数零点的判定定理．
【分析】先根据导数判断函数f（x）在区间[m，n]上单调减，再由零点的判定定理可得答案．
【解答】解：
∵f′（x）=﹣3x2﹣1＜0，
∴f（x）在区间[m，n]上是减函数，又f（m）•f（n）＜0，
故方程f（x）=0在区间[m，n]上有且只有一个实数根．
8．如图，阴影部分的面积为（ ）
A．2B．2﹣C．D．
【考点】6G：
定积分在求面积中的应用．
【分析】确定积分区间与被积函数，求出原函数，即可求得定积分．
【解答】解：
由题意阴影部分的面积等于（3﹣x2﹣2x）dx
=（3x﹣x3﹣x2）|=（3﹣﹣1）﹣（﹣9+9﹣9）=，
故选：
C
9．若圆的方程为（θ为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交过圆心B．相交但不过圆心
C．相切D．相离
【考点】QK：
圆的参数方程．
【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心（﹣1，3）到直线y﹣3x﹣2=0的距离d＜2，得到直线与圆的位置关系为相交．
【解答】解：
根据题意，圆的参数方程为，则圆的普通方程为：
（x+1）2+（y﹣3）2=4，
其圆心坐标为（﹣1，3），半径为2，
直线的参数方程为，则直线的普通方程为：
（y+1）=3（x+1），即y﹣3x﹣2=0，
圆心不在直线上，
且圆心（﹣1，3）到直线y﹣3x﹣2=0的距离d==＜2，
即直线与圆相交，
故选：
B．
10．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（ ）
A．B．C．D．
【考点】8E：
数列的求和．
【分析】由于数列中，1有一项，和为1，有两项，和为1，前100项中，有13项，和为1，，代入求出前100项的和．
【解答】解：
=1×
故选A．
11．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ）
A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
【考点】6B：
利用导数研究函数的单调性．
【分析】先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案．
【解答】解：
设F（x）=f（x）g（x），当x＜0时，
∵F′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．
∴F（x）在当x＜0时为增函数．
∵F（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）•g（x）=﹣F（x）．
故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．
∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．
已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0．
构造如图的F（x）的图象，可知
F（x）＜0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．
故选D
12．已知a≥0，函数f（x）=（x2﹣2ax）ex，若f（x）在[﹣1，1]上是单调减函数，则a的取值范围是（ ）
A．（0，）B．（，）C．（0，）D．[，+∞）
【考点】6B：
利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出原函数的导函数，由导函数在[﹣1，1]上小于等于0恒成立可得x2+2（1﹣a）x﹣2a≤0对x∈[﹣1，1]恒成立．转化为关于a的不等式组求解．
【解答】解：
由f（x）=（x2﹣2ax）ex，得f′（x）=（2x﹣2a）ex+（x2﹣2ax）ex=ex（x2﹣2ax+2x﹣2a）．
∵f（x）在[﹣1，1]上是单调减函数，
∴
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