概率论与数理统计统计课后习题答案 总主编 邹庭荣 主编 程述汉 舒兴明 第二章Word文档格式.docx
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P
0.2817
0.4696
0.2167
0.0310
0.0010
3.如果服从0-1分布,又知取1的概率为它取0的概率的两倍,写出的分布律和分布函数.
设,则.
由已知,,所以
的分布律为:
1/3
2/3
当时,;
当时,.
的分布函数为:
.
4.一批零件中有7个合格品,3个不合格品,安装配件时,从这批零件中任取一个,若取出不合格品不再放回,而再取一个零件,直到取得合格品为止,求在取出合格品以前,已取出不合格品数的概率分布.
设X={在取出合格品以前,已取出不合格品数}.
则X的所有可能的取值为0,1,2,3.
所以X的概率分布为:
123
7/10
7/307/1201/120
5.从一副扑克牌(52张)中发出5张,求其中黑桃张数的概率分布.
设X={其中黑桃张数}.
则X的所有可能的取值为0,1,2,3,4,5.
12345
0.2215
0.41140.27430.08150.01070.0005
6.自动生产线在调整之后出现废品的概率为p,当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整,求在两次调整之间生产的合格品数的概率函数.
由已知,
所以.
7.一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿是相互独立的,且红、绿两种信号显示时间相同.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数.求X的概率分布.
的所有可能的取值为0,1,2,3.
所以X的概率分布为
1/2
1/4
1/8
8.一家大型工厂聘用了100名新员工进行上岗培训,据以前的培训情况,估计大约有4%的培训者不能完成培训任务.求:
(1)恰有6个人不能完成培训的概率;
(2)不多于4个的概率.
设X={不能完成培训的人数}.则,
(1);
(2).
9.一批产品的接收者称为使用方,使用方风险是指以高于使用方能容许的次品率p接受一批产品的概率.假设你是使用方,允许次品率不超过,你方的验收标准为从这批产品中任取100个进行检验,若次品不超过3个则接受该批产品.试求使用方风险是多少?
(假设这批产品实际次品率为0.06).
设X={100个产品中的次品数},则,
所求概率为.
10.甲、乙两人各有赌本30元和20元,以投掷一枚均匀硬币进行赌博.约定若出现正面,则甲赢10元,乙输10元;
如果出现反面,则甲输10元,乙赢10元.分别求投掷一次后甲、乙两人赌本的概率分布及相应的概率分布函数.
设={投掷一次后甲的赌本},={投掷一次后乙的赌本}.
则的取值为20,40,且
,,
所以与的分布律分别为:
2040
1030
1/21/2
11.设离散型随机变量的概率分布为:
(1);
(2),分别求
(1)、
(2)中常数的值.
(1)因为
即,所以.
(2)因为
12.已知一电话交换台服从的泊松分布,求:
(1)每分钟恰有8次传唤的概率;
(2)每分钟传唤次数大于8次的概率.
设X={每分钟接到的传唤次数},则,查泊松分布表得
13.一口袋中有5个乒乓球,编号分别为1、2、3、4、5,从中任取3个,以示3个球中最小号码,写出的概率分布.
的所有可能的取值为1,2,3.
6/10
3/10
1/10
14.已知每天去图书馆的人数服从参数为的泊松分布.若去图书馆的读者中每个人借书的概率为,且读者是否借书是相互独立的.求每天借书的人数X的概率分布.
设{每天去图书馆的人数},则,
当时,,
即X的概率分布为.
15.设随机变量的密度函数为,
且,试求常数和.
,
由得,
16.服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F(x)=A+B,求常数A,B;
以及概率密度f(x).
由得.
所以;
17.设连续型随机变量的分布函数为
求:
(1)常数的值;
(2)的概率密度函数;
(3).
(1)由的连续性得
即,所以,;
(2);
(3).
18.设随机变量的分布密度函数为
试求:
(1)系数;
(3)的分布函数.
所以,;
(3)当时,,
所以
19.假设你要参加在11层召开的会议,在会议开始前5min你正好到达10层电梯口,已知在任意一层等待电梯的时间服从0到10min之间的均匀分布.电梯运行一层的时间为10s,从11层电梯口到达会议室需要20秒.如果你不想走楼梯而执意等待电梯,则你能准时到达会场的概率是多少?
设={在任意一层等待电梯的时间},则,
由题意,若能准时到达会场,则在10等电梯的时间不能超过4.5min,
20.设顾客在某银行窗口等待服务的时间(min)服从的指数分布.某顾客在窗口等待服务,若超过10min,他就离开.若他一个月到银行5次,求:
(1)一个月内他未等到服务而离开窗口的次数的分布;
(2)求.
(1)由已知,
其中
所以的分布为
21.设随机变量,求使:
(1);
(2).
由得
(1)
查标准正态分布表得:
,所以;
(2)由得,
所以
即,查标准正态分布表得,所以
22.设,求.
23.某地8月份的降水量服从的正态分布,求该地区8月份降水量超过250的概率.
设随机变量={该地8月份的降水量},
则,从而
所求概率为
24.测量某一目标的距离时,产生的随机误差服从正态分布,求在3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30的概率.
设={在3次测量中误差的绝对值不超过30的次数},则
所以P{3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30}=
25.已知测量误差,X的单位是mm,问必须进行多少次测量,才能使至少有一次测量的绝对误差不超过的概率大于0.9.
设必须进行n次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过的概率大于0.9.
设={n次测量中,绝对误差不超过的次数},则
所求概率为,即
,解之得,
必须进行3次测量,才能使至少有一次测量的绝对误差不超过的概率大于0.9.
26.参加某项综合测试的380名学生均有机会获得该测试的满分500分.设学生的得分,某教授根据得分将学生分成五个等级:
A级:
得分;
B级:
C级:
D级:
F级:
.已知A级和C级的最低得分分别为448分和352分,则:
(1)和是多少?
(2)多少个学生得B级?
(1)由已知,,解之得
(2)
由于0.3413×
380=129.66,故应有130名学生得B级。
27.已知随机变量的概率分布如下,
-1012
0.20.250.300.25
求及的概率分布.
解:
的所有可能的取值为4,1,-2,-5.
所以的分布律为
-5-214
0.250.30.250.2
的所有可能的取值为1,2,5
125
0.250.50.25
28.设随机变量,求的密度函数.
由X~N(0,1),得,设的分布函数为FY(y),则
当y≥1时,
当y<
1时,
即
29.随机变量X的概率密度为
求的密度函数.
由于y=lnx是一个单调函数,其反函数为,
利用公式得Y=lnX的密度函数为
30.设通过点的直线与x轴的交角在上服从均匀分布,求这直线在x轴上截距X的密度函数.
以α表示过(0,1)点的直线与x轴的交角,
见图1。
由题意知:
随机变量α在(0,π)内服从均匀分
布,故得α的概率密度为
设随机变量X表示直线在x轴上的截矩,易知
,即,其分布函数为:
。
其密度函数为