九年级数学教学大纲Word文档下载推荐.docx
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其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
注意：
三个要点，只含有一个未知数；
所含未知数的最高次数是2；
是整式方程。
2.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：
形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得或者，。
若b<
0，方程无解
（2）因式分解法：
一般步骤如下：
将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；
将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
（3）配方法:
用配方法解一元二次方程的一般步骤
二次项系数化为1：
方程两边都除以二次项系数；
移项：
使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
配方：
方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为
的形式；
用直接开平方法解变形后的方程。
注意：
当时，方程无解
（4）公式法：
一元二次方程根的判别式：
方程有两个不相等的实根:
（）的图像与轴有两个交点
方程有两个相等的实根的图像与轴有一个交点
方程无实根的图像与轴没有交点
3.韦达定理（根与系数关系）
我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：
+＝；
＝
4.一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似
“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
“解”就是求出说列方程的解；
“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
一元二次方程考点：
定义的考察；
解方程及一元二次方程的应用。
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：
一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。
强调：
和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2.二次函数的结构特征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式：
的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；
时，随的增大而减小；
时，有最小值．
向下
时，有最大值．
2.的性质：
上加下减。
时，有最小值c．
时，有最大值c．
3.的性质：
左加右减
X=h
4.的性质：
5．二次函数的图象与性质附图如下：
函数的图象
图象特点
函数性质
①当a>
O时向上无限伸展；
当a<
O时向下无限伸展．
①自变量x的取值范围是全体实数．
②a>
O时开口向上；
a<
O时开口向下；
顶点为（－,）．
O时，当x=－时，
y有最小值为；
y有最大值为．
③对称轴为x=－，
a>
O时，
对称轴左侧图象从左到右下降，
对称轴右侧图象从左到右上升；
对称轴左侧图象从左到右上升，
对称轴右侧图象从左到右下降．
③a>
O时，当x<
－时，
y随x的增大而减小；
当x>
－时，y随x的增大而增大；
y随x的增大而增大；
－时，y随x的增大而减小．
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；
值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
四、二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
五、二次函数图象的画法
五点绘图法：
利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：
顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：
开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
六、二次函数的性质
1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大；
当时，有最小值．
2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．
当时，有最大值．
七、二次函数解析式的表示方法
1.一般式：
（，，为常数，）；
2.顶点式：
3.两根式：
（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线
的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2.一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．
⑵在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
3.常数项
⑴当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．
用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．
一般来说，有如下几种情况：
1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1.关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
2.关于轴对称
3.关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
4.关于顶点对称
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
5.关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.
②当时，图象与轴只有一个交点；
③当时，图象与轴没有交点.
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
2.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；
3.二次函数常用解题方法总结：
⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函
数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；
下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
抛物线与轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
十一、实际问题与二次函数
1.利用二次函数求几何图形面积的最值问题
2.利用二次函数求最大利润问题
3.建立适当的坐标系解决实际问题
4.利用二次函数解决图形运动问题
第二十三章旋转
一、图形的旋转
1.图形旋转有关的概念
2.旋转的性质及其应用
3.图形旋转的作图步骤
4.旋转、平移和轴对称的异同点
5.利用旋转巧添辅助线解题
6.旋转问题中的常见图形
二、中心对称
1.中心对称的概念
2.中心对称的性质
3.中心对称的作图方法
4.中心对称图形
5.关于原点对称的点的坐标
6.中心对称和中心对称图形的区别与联系
7.对称图形在平面直角系中的综合应用
第二十四章圆
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