三角形的外接圆与外心北京习题集教师版Word文件下载.docx
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A.①②③④B.①②③C.②④D.②③④
3.(2019秋•海淀区期中)下列是关于四个图案的描述.
图1所示是太极图,俗称“阴阳鱼”,该图案关于外圈大圆的圆心中心对称;
图2所示是一个正三角形内接于圆;
图3所示是一个正方形内接于圆;
图4所示是两个同心圆,其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二.
这四个图案中,阴影部分的面积不小于该图案外圈大圆面积一半的是
A.图1和图3B.图2和图3C.图2和图4D.图1和图4
二.填空题(共8小题)
4.(2019秋•石景山区期末)如图,等边内接于,若的半径为3,则阴影部分的面积为 .
5.(2019秋•昌平区校级期末)锐角三角形的外心在 ,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 .
6.(2020•西城区校级模拟)已知:
如图,在中,是边上一点,圆过、、三点,.如果,圆的半径为2,则的长为 .
7.(2019•顺义区一模)如图,等边三角形内接于,点在上,,则 .
8.(2019秋•海淀区校级月考)如图,内接于将沿翻折,交于点,连接,若,则的度数为 .
9.(2019春•海淀区校级月考)如图,是的外接圆,若,则的度数为 .
10.(2019春•海淀区校级期末)已知的三个顶点的坐标分别为,,则外接圆半径的长度为
11.(2019秋•大兴区校级期中)如图,是等边的外接圆,其半径为3.图中阴影部分的面积是 .
三.解答题(共4小题)
12.(2020•朝阳区校级模拟)如图,中,.平分交于点,交的外接圆于点,过点作交的延长线于点.请补全图形后完成下面的问题:
(1)求证:
是外接圆的切线;
(2)若,,求的长.
13.(2019秋•房山区期末)如图,内接于,,高的延长线交于点,,.
(1)求的半径;
(2)求的长.
14.(2019秋•平谷区期末)如图,是的外接圆,圆心在的外部,,,求的半径.
15.(2019•朝阳区模拟)如图,是的外接圆,,连接并延长交于点.
;
(2)若,,求的半径.
参考答案与试题解析
【分析】根据圆周角定理即可得到结论.
【解答】解:
,
故选:
.
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,圆周角定理,熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理即可得到结论.
由题意得,,,
,,是等圆,
,,
正确结论的序号是②③④,
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键.
【分析】分别计算出各阴影部分的面积即可得到结论.
设外圈大圆的半径为,
则外圈大圆的面积,
图1所示是太极图,俗称“阴阳鱼”,该图案关于外圈大圆的圆心中心对称,
阴影部分的面积大圆面积一半;
图2所示是一个正三角形的面积;
图3所示是一个正方形的面积;
图4所示是两个同心圆,其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二,
小圆的面积,
【点评】本题考查了正多边形与圆,正多边形的面积的计算,正确的计算正多边形的面积是解题的关键.
【分析】根据等边三角形的性质和扇形的面积公式即可得到结论.
等边内接于,
阴影部分的面积,
故答案为:
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,圆周角定理,扇形的面积的计算,熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键.
5.(2019秋•昌平区校级期末)锐角三角形的外心在 三角形内 ,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 .
【分析】本题根据概念解答即可.锐角三角形的外心在三角形内,直角三角形的外心在斜边上,钝角三角形的外心在三角形外.
三角形内,斜边上,三角形外.
【点评】三角形的三边的垂直平分线交于一点,这一点叫三角形的外心;
作图得出结论:
锐角三角形的外心在三角形内,直角三角形的外心就是斜边的中点,钝角三角形的外心在三角形外.
如图,在中,是边上一点,圆过、、三点,.如果,圆的半径为2,则的长为 2 .
【分析】可以连接,根据.得,进而得,,,证明是等边三角形,即可求得的长.
如图,
连接,
是等边三角形,
故答案为2.
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,解决本题的关键是掌握三角形的外接圆的性质.
7.(2019•顺义区一模)如图,等边三角形内接于,点在上,,则 95 .
【分析】根据等边三角形的性质得到,根据圆周角定理得到,然后根据圆内接四边形的性质计算的度数.
为等边三角形,
故答案为95.
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心:
三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理和等边三角形的性质.
【分析】根据折叠的性质和圆内接四边形的性质得到,根据邻补角的定义和三角形的内角和即可得到结论.
将沿翻折,交于点,
设,
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,折叠的性质,圆周角定理,三角形的内角和,正确的识别图形是解题的关键.
【分析】先根据,可得出,故可得出的度数,再由圆周角定理即可得出结论.
连接,如图,
【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.
【分析】三角形的外心是三边中垂线的交点,设的外心为;
由、、的坐标知:
、的垂直平分线正好经过,由此可得到,由勾股定理即可求得的半径长.
设的外心为,如图:
,,,
、的垂直平分线过,故;
就是的半径长,
由勾股定理得:
即的外接圆半径为.
【点评】本题考查了三角形外心的定义和性质.能够根据三角形外心的性质来判断出外心的位置是解答此题的关键.
【分析】先根据等边三角形的性质得到,再利用圆周角定理得到,然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积.
图中阴影部分的面积,
经过三角形的三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.
【分析】
(1)根据已知条件得到的外接圆圆心是斜边的中点.连接,根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到.求得.于是得到结论;
(2)根据三角函数的定义得到.根据勾股定理得到.根据矩形的性质即可得到结论.
【解答】
(1)证明:
补全图形如图所示,
是直角三角形,
的外接圆圆心是斜边的中点.
平分,
(2)解:
在中,,,
四边形是矩形.
,.
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,圆周角定理,勾股定理,矩形的判定和性质,切线的判定,正确的画出图形是解题的关键.
(1)作直径,连接,求得,根据三角函数的定义即可得到结论;
(2)如图,过作于,于,得到,四边形是矩形,求得,于是得到结论.
(1)如图,作直径,连接,
的半径为;
(2)如图,过作于,于,
,四边形是矩形,
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,矩形的性质,解直角三角形,正确的作出辅助线是解题的关键.
【分析】连接,交于点,连接,由垂径可求,,即可求,由勾股定理可求的长,圆的半径.
连结,交于点,练结.
.1
又是半径,
,.2
.3
在中,,
设半径为.
在中,
的半径为4.
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,等腰三角形的性质,勾股定理,熟练运用勾股定理求线段的长是本题的关键.
(1)连接,,可证,所以,因为,所以,即可得出;
(2)作的直径,连接,则,,在中,利用锐角三角函数的定义即可得出的半径.
(1)如图1,连接,,
(2)如图2,作的直径,连接,
则,,
的半径为5.
【点评】本题考查圆周角定理,三角形全等的判定和性质,锐角三角函数的定义.作的直径是解决
(2)问的关键.