高等数学同济大学练习部分答案docWord文档下载推荐.docx
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[宀宀宀4
两式消去x得母线平行于兀轴的柱而方程：
3j2-5z2+8=0o
两式消去y得母线平行于y轴的柱面方程：
3x2+2z2=20o
P20—习题7-2
A-5、已知心2,-4）,乔={一3,2,1},求点B的坐标。
令B的坐标为（兀』Z）,由AB={-3,2,1}得:
&
一1』一2忆+4}={-3,2，1},从而
x-1=-3,j-2=2,z+4=1,得点B的坐标为（一2,4,—3）。
_212
A-10、已知冇向线段片匚的长度为6,方向余弦分别为—,，点许的处标为（—3,2,5）,求点鬥。
333
是与片均同方向的单位向量,
由片匚的方向余弦组成的向量0={cosa,cos0,cosy}=
则&
+3』_2忆_5}={-4,2,4},可得点P2的坐标为（-7,4,9）。
A-11、已知两点刈2（3,0,2）,试计算MM的模、方向余弦和方向角。
M{M2={-1-V2,1}的模为M{M2=V（-1）2+（-a/2）2+『=2。
方向余弦分别为cosa=—^,COSyff=—^-,COS/=^o由于方向角的范围为［0,兀］,所以，方向角为乙乙乙
g竺0二竺』工
3"
4"
3
■JT
A・12、已知点P的向径OP为单位向最，且与z轴的夹角为一，另外两个方向角相等，求点P的坐标。
6
解得cosa=
—-jr3
设OP两个相等的方向角为a，则cos2—+2cos2a=—+2cos2a=l
64
伴,良回或［血血
OP={cosa,cos0,cos/}=|±
44
B-3>
试确定加与"
的值,使向量。
={-2,3/}与b={m,-6,2}平行。
tt_03n
allbo—=——=_,得m=4,n=—lo
m-62
P26—习题7-3
A-l>
已知4={3，—2厂5},b=（6,0,2}o求:
（1）
（2）a・a
（3）仏-久）©
+2》）
解:
（1）u*b—3x6+（—2）x04-（—5）x2=8
（2）
（3）
：
・：
=3x3+（-2）x（_2）+（_5）x（-5）=38
佑一@+2&
）={6-8-22}・{15-2-1}=6xl5+（-8）x（-2）+（-22）x（-1）=128。
A4设a=3i-j-2k,b=i+2j-k,求
（1）向量的模：
b:
（2）
（1）a=曲，+（_if+（_2尸=V14,b=^12+22+（—1）2=V6；
（2）c°
sGM』「3xl+（-l）x2+（_2）x（-l）_VH
714-76
A-6、设a=3,b=4,并且a丄〃，试求*+"
>
<
（:
一可。
ab
14
a+b）x\p-b）=cixa-axb+bxa-bxb=2bxct,
”+》）xb—可=2””|sin@a）=2x4x3xl=248、已知A（1,—1,2）,B（5,—6,2）,C（1,3,—1）,求
（1）同时与AB及AC垂直的单位向量；
（2）\ABC的而积；
（3）从顶点B到边AC的高的长度。
_ijk
（1）ABxAC=4-50=15i+12j+16Jl,ABxAC=V152+122+162=2504-3
所以同时垂直于AB.AC的单位向量为:
=±
-丄ABxACe=±
ABxAC
（2）S
2ABXAC
25
T
1
所以方=5o
—>
125
（3）从顶点B到边AC的高为方，则=-ACh=-x5xh=—
2
P34—习题7-4
A-3、求满足下列条件的平而的方程：
（1）平行于平面2x-8y+z-2=0fl.经过点（3,0-5）。
待求平血方程可设为2x-8y+z+D=0,代入点（3,0-5）得0=-1,所以平面方程为
2x-8j+z-l=0o
（2）过点（1,1,1）与点（0,1-1）且与平面x+j+z=0垂直。
设p（o,i-i）,e（i,i,i）,pe={iA2}.平I&
IX+j+z=o的法向量为可={1,1」},待求平面的
法向量〃同时垂直于向量PQ,nx,故，法向量〃可取为向量PQ,蚀的向量积，即
n=PQx^[={1,0,2}x{1,1,1}={-2,1,1},所以，平面方程为：
-2（x-l）+（j-l）+（z-l）=0,即2x-j-z=0o
（3）过点（1-5,1）点（3,2,-2）且平行于y轴。
设待求平面的法向量为二匚与由点P（l,-5,l）,Q（3,2,-2）构成的向量PQ={2,7-3}及丿轴上的单位向量兀二{0,1,0}同时垂直,故：
可取为西与斤的向量积,即n=Pgx^={3,0,2},
待求平面方程为:
3（兀_1）+0心+5）+2（z_l）=0,即3x+2z-5=0
（4）过点A（2,9,-6）冃.与向径亦垂直
向径OA={2,9,-6}可取为待求平面的法向量，故待求平而方程为：
2（x-2）+9（j-9）-6（z+6）=0,即2x+9j-6z-121=0o
A・5、设平面过点（5-7,4）且在三个坐标轴上截距相等，求这平面的方程。
设平面方程为-+^+-=1,将点（5-7,4）代入方程得：
。
=5-7+4=2,所以平面方程为:
aaa
j+z-2=0o
A・9、求平面x+j+z+l=（）与平面x-2j-z+3=0的夹角，并判别坐标原点到哪个平面的距离更近。
解：
两个平面的法向量分别为：
={1,1,1},={1-2-1}o贝U两平面的夹角余弦为：
¥
，所以两平面的夹角为
lxl+lx（-2）+lx（-l）|
JF+F+F・J]2+（_2）2+（_l）2
arccos——。
3
原点到第一个平而的距离为：
d{=X）+°
+°
+N=—o到第二个平面的距离为
Vl2+12+123
显然，原点到笫一个平面的距离更近。
0+0+0+3
少+（-2）2+（一1）广亍
P40—习题7・5
A-2-（l）求过点（0,2,4）且同时平行于平而x+2z=1与y—3z=2的直线方程。
该直线的方向向量7={1,0,2}x{0,1,-3}={-2,3,1},贝U直线的对称式方程为:
xy-2z-4
^2=3=^~
（2）求过点（2,0,1）且与直线:
:
二:
;
二裁）平行的直线的方程。
-7-28
肓线的方向向量5={2,-3,l}x{4-2,3}={-7-2,8},所以肓线方程为:
A・3、写出下列直线的对称式方程及参数方程:
（2）L_5；
+z_1=0
11-15
令J=0代入方程组得*忆=」，直线的方向向量
1115
xz+——
；
={3,—4,5}x{2-5,1}={21,7-7}=7（3,1-1}，所以对称式方程为:
—=y=—£
31—1
11a
x=3t
7
参数方程为：
=/o
B・2、求下列投影点的处标：
1）点（-1,2,0）在平面x+2j-z+l=0上的投影。
过点（-1,2,0）与平面x+2j-z+l=0垂直的直线I与平而的交点即是投影点，直线I的方向向量£
可
X=-1+Z
取为平血的法向量，即={1,2-1},故，直线2的参数方程为《y=2+2/。
为求直线与平面的交点，将
z=-t
_2
参数方程代入平面方程，可得：
（一1+”+2（2+2（）-（一（）+1=6（+4=0,得/=——。
再将
代入参数方程可得交点
（-522}
P47—习题7-6
A・l、求下列旋转曲血•的方程：
（1）将zo兀面上的抛物线才=5兀绕兀轴旋转一周。
y2+z2=5x
兀2V2
（2）将兀oy面上的椭圆—+V=1绕丿轴旋转一周。
94
⑷将xoy^上的直线j=2x+1绕兀轴旋转一•周。
土+才=2工+1,两边平方j2+z2=（2x+1）2o
笫八章习题
P57-习题8-1
A--4.求下列函数的定义域
（3）z=^4-x2-y2+
定义域为P={（x,j^4>
x2+j2>
1},这是以原点为圆心，半径分别为1和2的两个圆构成的圆环,不包括内环。
（5）z=ln（x2-j）+arccos（x2+y2）
定义域为D={（x,jJx2>
j,x2+j2<
1},这是开口向上的抛物线y=x2与半径为1的圆围成的图形的下面部分，不包括抛物线。
A-5、求下列函数的极限
（2）lim（兀+v）sin—
因为鳥嘛（宀）"
sin—<
1,故lim（x+j）sin—=0o巧z
（小4（0・0）
xy
（4）lim
G』A（o,o）xy
原式=（limb-歼取铲（x胪（0,0）xy（2+^Xy+4j
_|._卩_j.一1_一1
（x,J%o）号（2+Jxy+4）（x,J胃0,0）2+Jxy+44
A-7、设函数/（x,j）=<
x2+j2，X+'
定°
讨论函数/（x,j）在点（0,0）处的连续性。
0,x2+j2=0
*2-k2X21_fc2
lim/（x,j）=lim—一=——。
可见，R取不同的值时，即动点（工』）沿不同的路径趋近
rrx+kxi+k
y=kxy=kx
于（0,0）时，极限不同,故zlimf（x,y）不存在，所以函数f（x,y）在（0,0）处不连续。
（X』）T（O・O）
P66—习题8-2
A-1、求下列函数的偏导数
x—y
（6）z=arctan
x+j
dz=1（兀+丿）一（兀一丿）=2y=y
〃〔fx-vY（x+j）2"
（x+j）2+（x-j）2~x2+j2
1兀+丿丿
dz_1~（xy）-（x-y）_-2x_-x
血一]+（
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