互斥事件有一个发生的概率相互独立事件同时发生的概率独立重复试验.docx

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互斥事件有一个发生的概率相互独立事件同时发生的概率独立重复试验

本周课题：

互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验

　　本周重点：

　　1、互斥事件、对立事件的概率的求法

　　2、相互独立事件同时发生的概率乘法公式．

　　3、正向思考：

通过“分类”或“分步”将较复杂事件进行分解，转化为简单的互斥事件的和事件或相互独立事件的积事件．

　　4、n次独立重复试验中某事件恰好发生n次的概率计算公式．

　　本周难点：

　　1、互斥事件、对立事件的概念

　　2、事件的相互独立性的判定，独立重复试验的判定

　　3、事件的概率的综合应用．

　　本周内容：

　　1、事件的和、事件的积的意义

（1）A+B表示这样一个事件：

在同一试验下，A或B中至少有一个发生就表示它发生．

　　事件“A1+A2+…+An”表示这样一个事件：

在同一试验中，A1，A2，…，An中至少有一个发生即表示它发生．

（2）A·B表示这样一个事件：

事件A与事件B中都发生了就表示它发生．

　　事件“A1·A2·…·An”表示这样一个事件：

A1，A2，…，An中每一个都发生即表示它发生．

　　2、互斥事件

（1）不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．

　　一般地：

如果事件A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A1，A2，…，An，彼此互斥．

（2）一般地：

如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生（即A，B中有一个发生）的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P（A+B）=P（A）+P（B）

　　（说明：

如果事件A，B不互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A·B））

　　如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件A1+A2+…+An发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）

　　3、对立事件

（1）必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记作

（2）

　　（3）对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：

　　第一：

互斥事件研究的是两个事件之间的关系；

　　第二：

所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；

　　第三：

两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的．

　　从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集．

　　对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即

　　．对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．

　　（4）分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想．

　　4、相互独立事件

（1）事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件

（2）两个相互独立事件A、B同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．

　　即：

P（A·B）=P（A）·P（B）

　　推广：

如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

　　即：

P（A1·A2·…·An）=P（A1）·P（A2）·…·P（An）

　　（3）关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：

　　第一：

相互独立也是研究两个事件的关系；

　　第二：

所研究的两个事件是在两次试验中得到的；

　　第三：

两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的．

　　（4）互斥事件与相互独立事件是有区别的：

　　两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生．

　　5.独立重复试验

（1）独立重复试验指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验．

（2）一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率

　　　，它是[（1-P）+P]n展开式的第k+1项。

　　本周例题

　　例1、袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率：

（1）摸出2个或3个白球；

（2）至少摸出1个白球；

　　（3）至少摸出1个黑球．

　　解：

从8个球中任意摸出4个共有种不同的结果．

　　记从8个球中任取4个，其中恰有1个白球为事件Al；恰有2个白球为事件A2；恰有3个白球为事件A3；4个白球为事件A4；恰有i个黑球为事件Bi，则

（1）摸出2个或3个白球的概率

（2）至少摸出1个白球的概率P2=1-P（B4）=1-0=1

　　（3）至少摸出1个黑球的概率

　　例2、设从标有自然数1001到8000的7000张卡片中随意抽出1张，求其数字恰是3或7的倍数的概率。

　　解：

记“抽出卡片上的数字恰是3的倍数”的事件为A；

　　　“抽出卡片上的数字恰是7的倍数”的事件为B；

　　　　A·B表示“抽出卡片上的数字恰是21的倍数”，则：

　　点评：

在使用互斥事件的概率计算公式时，一定要判定两个事件是否是互斥事件，如果不是互斥事件，还应减去事件A·B的概率．

　　例3、甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：

（1）2人都射中目标的概率；

（2）2人中恰有1人射中目标的概率；

　　（3）2人至少有1人射中目标的概率；

　　（4）2人至多有1人射中目标的概率。

　　解：

记“甲射击1次，击中目标”为事件A；

　　　“乙射击1次，击中目标”为事件B，

　　　　则A与B，为相互独立事件

（1）2人都射中目标的概率为：

　　　∴2人都射中目标的概率为；

（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：

　　　一种是甲击中、乙未击中（事件发生）；

　　　另一种是甲未击中、乙击中（事件发生）．

　　　根据题意，事件互斥，

　　　根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，

　　　所求的概率为：

　　　　　　　　　　　　　　=0.8×（1-0.9）+（1-0.8）×0.9

　　　　　　　　　　　　　　　=0.08+0.18

　　　　　　　　　　　　　　=0.26

　　　∴2人中恰有1人射中目标的概率是0．26；

　　（3）

　　（法1）：

2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，

　　　　　其概率为

　　（法2）：

“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，

　　　　　2个都未击中目标的概率是

　　　　　　∴“两人至少有1人击中目标”的概率为

　　（4）

　　（法1）：

“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，

　　　　　　故所求概率为：

　　　　　　=0.02+0.08+0.18

　　　　　　　=0.28

　　（法2）：

“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，

　　　　　　故所求概率为．

　　例4、如图：

用A、B、C、D四类不同的元件连接成系统N，当元件A正常工作且元件B、C都正常工作，或当元件A正常工作且元件D正常工作时，系统N正常工作．已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次为

　　（I）求元件A不正常工作的概率；

　　（II）求元件A、B、C都正常工作的概率；

　　（III）求系统N正常工作的概率．

　　解：

　　（I）元件A正常工作的概率，

　　　　它不正常工作的概率为；

　　（II）元件A、B、C都正常工作的概率；

　　（III）系统N正常工作可分为A、B、C都正常工作和A、D正常工作但B、C不都正常工作两种情况，

　　　　　前者概率，

　　　　　后者的概率为

　　　　所以系统N正常工作的概率是：

　　例5、已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．

（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；

（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮?

　　分析：

因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率．

　　解：

（1）设敌机被第k门高炮击中的事件为Ak（k=1，2，3，4，5），

　　　　那么5门高炮都未击中敌机的事件为

　　　　∵事件相互独立，

　　　　∴敌机未被击中的概率为：

　　　　∴敌机未被击中的概率为：

；

（2）至少需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿

（1）可得：

　　　　敌机被击中的概率为

　　　　两边取常用对数，得

　　　　∵n∈N+，∴n=11

　　　　∴至少需要布置1l门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机．

　　点评：

上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法，采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便．

　　例6、某气象站天气预报的准确率为80％，计算（结果保留两个有效数字）：

（1）5次预报中恰有4次准确的概率；

（2）5次预报中至少有4次准确的概率．

　　解：

（1）记“预报1次，结果准确”为事件A．预报5次相当于5次独立重复试验，根据n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率

　　答：

5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41．

（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，

　　　即

　　　　　=0.84+0.85≈0.410+0.328≈0.74

　　　　答：

5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74。

　　例7、某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）。

（1）求至少3人同时上网的概率；

（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？

　　解：

（1）至少3人同时上网的概率等于l减去至多2人同时上网的概率，

　　　　　即

（2）至少4人同时上网的概率为

　　　　　　至少5人同时上网的概率为

　　　　　　因此至少5人同时上网的概率小于0.3.

　　例8、实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．

（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．

（2）按比赛规则甲获胜的概率．

　　解：

甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．

　　记事件A=“甲打完3局才能取胜”，

　　记事件B=“甲打完4局才能取胜”，

　　记事件C=“甲打完5局才能取胜”．

　　①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜．

　　　∴甲打完3局取胜的概率为

　　②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜l负．

　　　∴甲打完4局才能取胜的概率为．

　　③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负．

　　　∴甲打完5局才能取胜的概率为

（2）事件D