江苏专版版高考数学大一轮复习第七章不等式第39讲不等关系与不等式学案理0518418Word文件下载.docx

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解析　由a＋|b|<

0知a<

0，且|a|>

|b|，

当b≥0时，a＋b<

0成立，

当b<

0时，a＋b<

0成立，∴a＋b<

答案　④

4.如果a∈R，且a2＋a<

0，则a，a2，－a，－a2的大小关系是________.

解析　由a2＋a<

0得a<

－a2，

∴a<

0且a>

－1，∴a<

－a2<

a2<

－a.

答案　a<

－a

5.若0<

b，且a＋b＝1，则将a，b，，2ab，a2＋b2从小到大排列为________.

解析　∵0<

b且a＋b＝1，

∴0<

1，∴2b>

1且2a<

1，

2b·

a＝2a（1－a）＝－2a2＋2a

＝－2＋<

即a<

2ab<

，

又a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝1－2ab>

1－＝，

即a2＋b2>

a2＋b2－b＝（1－b）2＋b2－b＝（2b－1）（b－1），

又2b－1>

0，b－1<

0，∴a2＋b2－b<

0，

∴a2＋b2<

b，

综上，a<

a2＋b2<

知识梳理

1.两个实数比较大小的方法

（1）作差法（a，b∈R），

（2）作商法（a∈R，b>

0），

2.不等式的基本性质

性质

性质内容

特别提醒

对称性

b⇔b<

⇔

传递性

b，b>

c⇒a>

⇒

可加性

b⇔a＋c>

b＋c

可乘性

⇒ac>

⇒ac<

注意c的符号

同向可加性

⇒a＋c>

b＋d

同向同正可乘性

可乘方性

0⇒an>

bn（n∈N，n≥1）

a，b同为正数

可开方性

（n∈N，n≥2）

3.不等式的一些常用性质

（1）倒数的性质

①a>

b，ab>

0⇒<

②a<

b⇒<

③a>

0，0<

d⇒>

④0<

b或a<

（2）有关分数的性质

若a>

0，m>

0，则

①<

；

（b－m>

0）.

②>

考点一　比较两个数（式）的大小

【例1】

（1）（一题多解）若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为________.

（2）（2018·

无锡期中）若<

0，给出下列四个不等式：

①a＋b<

ab；

②|a|>

|b|；

③a<

b；

④＋>

2中，其中正确的不等式是________（填序号）.

解析　

（1）法一　易知a，b，c都是正数，＝

＝log8164<

所以a>

＝＝log6251024>

所以b>

c.即c<

法二　对于函数y＝f（x）＝，y′＝，

易知当x>

e时，函数f（x）单调递减.

因为e<

5，所以f（3）>

f（4）>

f（5），

即c<

（2）因为<

0，即<

0，且a<

0，b<

0，所以b<

0，ab>

0.经逐一分析，得①④正确.

答案　

（1）c<

（2）①④

规律方法　比较大小的常用方法

（1）作差法：

一般步骤：

①作差；

②变形；

③定号；

④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.

（2）作商法：

①作商；

③判断商与1的大小；

④结论.

（3）函数的单调性法：

将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.

注意：

在综合题中遇到比较大小时要采用此法.

【训练1】

（1）设a，b∈[0，＋∞），A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是________.

（2）若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________.

解析　

（1）∵A≥0，B≥0，

A2－B2＝a＋2＋b－（a＋b）

＝2≥0，

∴A≥B.

（2）＝＝

＝＝，

∵∈（0，1），∴<

∵1816>

0，1618>

∴1816<

1618，即a<

答案　

（1）A≥B　

（2）a<

考点二　不等式的性质

【例2】

（1）已知a，b，c满足c<

a，且ac<

0，那么下列不等式中一定成立的是________（填序号）.

①ab>

ac;

②c（b－a）<

③cb2<

ab2；

④ac（a－c）>

（2）设a，b为正实数.现有下列命题：

①若a2－b2＝1，则a－b<

1；

②若－＝1，则a－b<

③若|－|＝1，则

|a－b|<

④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<

其中的真命题有________（写出所有真命题的编号）.

解析　

（1）由c<

a且ac<

0知c<

由b>

c得ab>

ac一定成立.

（2）①中，a2－b2＝（a＋b）（a－b）＝1，a，b为正实数，若a－b≥1，则必有a＋b>

1，又a－b＝，不合题意，故①正确.

②中，－＝＝1，只需a－b＝ab即可.如取a＝2，b＝满足上式，但a－b＝>

1，故②错.

③中，a，b为正实数，所以＋>

|－|＝1，且|a－b|＝|（＋）（－）|＝|＋|>

1，故③错.

④中，|a3－b3|＝|（a－b）（a2＋ab＋b2）|＝|a－b|（a2＋ab＋b2）＝1.

若|a－b|≥1，不妨设a>

1，则必有a2＋ab＋b2>

1，不合题意，故④正确.

答案　

（1）①　

（2）①④

规律方法　解决此类问题常用两种方法：

一是直接使用不等式的性质逐个验证；

二是利用特殊值法排除错误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.

【训练2】（一题多解）若a>

－a，c<

0，则下列结论：

①ad>

bc；

②＋<

③a－c>

b－d；

④a（d－c）>

b（d－c）中成立的个数是________.

解析　法一　∵a>

b，c<

∴ad<

0，bc>

bc，故①错误.

∵a>

－a，∴a>

－b>

∵c<

0，∴－c>

－d>

∴a（－c）>

（－b）（－d），

∴ac＋bd<

0，∴＋＝<

0，故②正确.

d，∴－c>

－d，

b，∴a＋（－c）>

b＋（－d），

∴a－c>

b－d，故③正确.

b，d－c>

0，∴a（d－c）>

b（d－c），

故④正确.

法二　取特殊值.

答案　3

考点三　不等式性质的应用

【例3－1】（一题多解）已知a>

①a2>

b2；

②2a>

2b－1；

③>

－；

④a3＋b3>

2a2b.

其中一定成立的不等式为________（填序号）.

解析　法一　由a>

0可得a2>

b2，①成立；

由a>

0可得a>

b－1，而函数f（x）＝2x在R上是增函数，

∴f（a）>

f（b－1），即2a>

2b－1，②成立；

0，∴>

∴（）2－（－）2

＝2－2b＝2（－）>

∴>

－，③成立；

若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35，2a2b＝36，

a3＋b3<

2a2b，④不成立.

法二　令a＝3，b＝2，

可以得到①a2>

b2，②2a>

2b－1，③>

－均成立，而④a3＋b3>

2a2b不成立.

答案　①②③

【例3－2】已知－1<

4，2<

3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________.

解析　∵－1<

3，∴－3<

－y<

－2，

∴－4<

x－y<

由－1<

3，得－3<

3x<

12，4<

2y<

6，

∴1<

3x＋2y<

18.

答案　（－4，2）　（1，18）

规律方法　

（1）判断不等式是否成立的方法

①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.

②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等.

（2）求代数式的取值范围

利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径.

【训练3】

（1）若a<

0，则下列不等式一定成立的是________（填序号）.

　　　②a2<

③<

④an>

bn.

（2）设a>

1，c<

0，给出下列三个结论：

①>

②ac<

bc;

③logb（a－c）>

loga（b－c）.

其中所有正确结论的序号是________.

解析　

（1）（特值法）取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知①，②，④均不正确；

③中，<

⇔|b|（|a|＋1）<

|a|（|b|＋1）

⇔|a||b|＋|b|<

|a||b|＋|a|⇔|b|<

|a|，

∵a<

0，∴|b|<

|a|成立.

（2）由不等式性质及a>

1知<

又c<

，①正确；

构造函数y＝xc，

0，∴y＝xc在（0，＋∞）上是减函数，

又a>

1，∴ac<

bc，②正确；

0，∴a－c>

b－c>

∴logb（a－c）>

loga（a－c）>

loga（b－c），③正确.

答案　

（1）③　

（2）①②③

一、必做题

1.当x＞1时，x3与x2－x＋1的大小关系为________.

解析　∵x3－（x2－x＋1）

＝x3－x2＋x－1＝x2（x－1）＋（x－1）

＝（x－1）（x2＋1）.

又∵x＞1，

故（x－1）（x2＋1）＞0，

∴x3－（x2－x＋1）＞0，

即x3＞x2－x＋1.

答案　x3＞x2－x＋1

2.（2018·

镇江模拟）若6<

10，≤b≤2a，c＝a＋b，那么c的取值范围是________.

解析　∵c＝a＋b≤3a且c＝a＋b≥，

∴9<

≤a＋b≤3a<

30.

答案　（9，30）

3.已知x>

z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是________（填序号）.

①xy>

yz;

②xz>

yz；

③xy>

xz;

④x|y|>

z|y|.

解析　∵x>

z且x＋y＋z＝0，∴x>

0，z<

又y>

z，∴xy>

xz.

答案　③

4.设a，b∈R，则“（a－b）·

0”是“a<

b”的________条件.

解析　由（a－b）·

0⇒a≠0且a<

b，∴充分性成立；

由a<

b⇒a－b<

0，当0＝a<

b时⇒/（a－b）·

0，必要性不成立.

5.设α∈，β∈，那么2α－的取值范围是________.

解析　由题设得0<

2α<

π，0≤≤，

∴－≤－≤0，∴－<

2α－<

π.

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