高二数学选修21空间向量与立体几何单元测试题.docx

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高二数学选修21空间向量与立体几何单元测试题

东升学校《空间向量与立体几何》单元测试题

一、选择题（本大题8小题,每小题5分，共40分）

1、若,,是空间任意三个向量,,下列关系式中,不成立的是（）

A．B．

C．D．

2、给出下列命题

①已知,则;

②A、B、M、N为空间四点,若不构成空间的一个基底,则A、B、M、N共面;

③已知,则与任何向量不构成空间的一个基底;

④已知是空间的一个基底,则基向量可以与向量构成空间另一个基底.

正确命题个数是（）

A．1B．2C．3D．4

3、已知均为单位向量,它们的夹角为60︒,那么等于（）

A．B．C．D．4

4、且,则向量的夹角为（）

A．30︒B．60︒C．120︒D．150︒

5、已知且,则x的值是（）

A．3B．4C．5D．6

6、若直线l的方向向量为,平面的法向量为,则能使的是（）

A．B．

C．D．

7、在平面直角坐标系中,,沿x轴把平面直角坐标系折成120︒的二面角后,则线段AB的长度为（）

A．B．C．D．

8、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1中点,则E到平面ABC1D1的距离是（）

A．B．C．D．

二、填空题（本大题共6小题，每空5分，共30分）

9、已知，，，若共同作用于一物体上，使物体从点M（1，-2，1）移动到N（3，1，2），则合力所作的功是.

10、在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=60︒,AD=4,AB=3,AA1=5,=.

11、△ABC和△DBC所在的平面互相垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=60︒,则AD与平面BCD所成角的余弦值为.

12、若直线l的方向向量为（4,2,m）,平面α的法向量为（2,1,-1）,且l⊥α,则m=.

13、已知A（-3,1,5）,B（4,3,1）,则线段AB的中点M的坐标为.

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

14、（本题满分12分）设空间两个不同的单位向量与向量的夹角都等于45︒.

（1）求和的值;

（2）求的大小.

15、（本题满分12分）已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的

正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,E为PC上的点且CE：

CP=1：

4,

则在线段AB上是否存在点F使EF//平面PAD?

17、（本题满分14分）如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA⊥底面ABCD,若边BC上存在异于B,C的一点P,使得.

（1）求a的最大值;

（2）当a取最大值时,求异面直线AP与SD所成角的大小;

（3）当a取最大值时,求平面SCD的一个单位法向量

及点P到平面SCD的距离.

18、（本题满分14分）已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AF=1,M是线段EF的中点.

（1）求证：

AM//平面BDE；

（2）求证：

AM⊥平面BDF．

19、（本题满分14分）如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:

①;②;③;④;⑤;

（1）当在BC边上存在点Q,使PQ⊥QD时,a可能取所给数据中的哪些值?

请说明理由;

（2）在满足

（1）的条件下,a取所给数据中的最大值时,求直线PQ与平面ADP所成角的正切值;

（3）记满足

（1）的条件下的Q点为Qn（n=1,2,3,…）,若a取所给数据的最小值时,这样的点Qn有几个?

试求二面角Qn-PA-Qn+1的大小;

20、（本题满分14分）如图所示,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60︒,PA=AC=a,

PB=PD=,点E在PD上,且PE：

ED=2：

1.

（1）证明：

PA⊥平面ABCD；

（2）求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小；

（3）棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?

证明你的结论.

参考答案：

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

C

C

C

C

D

B

B

二、填空题

题号

9

10

11

12

13

14

答案

14

30︒

-2

三、解答题

15、解：

（1）依题意，；

（2）∵单位向量与向量的夹角都等于45︒.

∴由,

∴

由

∴

16、解：

建立如图所示的空间直角坐标系，设PA=b，

则A（0,0,0）,B（a,0,0）,C（a,a,0）,D（0,a,0）,P（0,0,b）,

则,

∵E为PC上的点且CE：

CP=1：

3,

∴

∴由,

设点F的坐标为（x,0,0,）（0≤x≤a）,

则,

又平面PAD的一个法向量为,

依题意,,

∴在线段AB上存在点F,满足条件,点F在线段AB的处.

17、解：

建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:

A（0,,0,0）,B（a,0,0）,C（a,2,0）,D（0,2,0）,S（0,0,1）,设P（a,x,0）.（0

（1）∵

∴由得:

即:

∴当且仅当x=1时,a有最大值为1.此时P为BC中点;

（2）由

（1）知:

∴

∴异面直线AP与SD所成角的大小为

（3）设是平面SCD的一个法向量,∵

∴由得

∴平面SCD的一个单位法向量

又在方向上的投影为

∴点P到平面SCD的距离为

18、解：

建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为：

O（0,0,0）,A（0,1,0）,B（-1,0,0）,C（0,-1,0,）,D（1,0,0,）,

E（0,-1,1）,F（0,1,1）,M（0,0,1）.

（1）∵

∴,即AM//OE,

又∵平面BDE,平面BDE,

∴AM//平面BDE;

（2）∵

∴,

∴AM⊥BD,AM⊥DF,∴AM⊥平面BDF.

19、解：

建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:

A（0,0,0,）,B（a,0,0）,C（a,2,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2）,设Q（a,x,0）.（0≤x≤2）

（1）∵

∴由PQ⊥QD得

∵

∴在所给数据中,a可取和两个值.

（2）由

（1）知,此时x=1,即Q为BC中点,∴点Q的坐标为（1,1,0）

从而又为平面ADP的一个法向量,

∴,

∴直线PQ与平面ADP所成角的正切值为

（3）由

（1）知,此时,即满足条件的点Q有两个,

其坐标为

∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AQ1,PA⊥AQ2,

∴∠Q1AQ2就是二面角Q1-PA-Q2的平面角.

由,得∠Q1AQ2=30︒,

∴二面角Q1-PA-Q2的大小为30︒.

20、解：

（1）∵PA=AC=a，PB=PD=

∴

∴PA⊥AB且PA⊥AD，

∴PA⊥平面ABCD，

（2）∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，设AC∩BD=O，

∴以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：

∵点E在PD上,且PE：

ED=2：

1.∴，即：

∴，即点E的坐标为

又平面DAC的一个法向量为

设平面EAC的一个法向量为，

由，得

∴

∴由图可知二面角E-AC-D的大小为

（3）设在CP上存在点F，满足题设条件，

由，得

∴

依题意，则有

∴

∴点F为PC中点时,满足题设条件.

一.选择题：

（10小题共40分）

1.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A、B、C一

定共面的是（）

A.B.

C.D.

2.直三棱柱ABC—A1B1C1中，若（）

A.B.C.D.

3.若向量、（）

A.B.C.D.以上三种情况都可能

4.以下四个命题中,正确的是（）

A.若,则P、Ａ、Ｂ三点共线

B.设向量是空间一个基底，则{+，+，+}构成空间的另一个基底

C.

D.△ABC是直角三角形的充要条件是

5.对空间任意两个向量的充要条件是（）

A.B.C.D.

6.已知向量的夹角为（）

A.0°B.45°C.90°D.180°

7.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，

则下列向量中与相等的是（）

A.B.C.D.-

8.已知（）

A.B.5，2C.D.-5，-2

9.已知（）

A.-15B.-5C.-3D.-1

10.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN

所成角的余弦值是（）

A.B.C.D.

二.填空题:

（4小题共16分）

11.若A（m+1,n-1,3）,B（2m,n,m-2n）,c（m+3,n-3,9）三点共线，则m+n=.

12.已知A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），若

的坐标为.

13.已知是空间二向量，若的夹角为.

14.已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若为.

三.解答题:

（10+8+12+14=44分）

15.如图：

ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，

（1）求证：

MN⊥平面PCD；

（2）求NM与平面ABCD所成的角的大小.

16.一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是300，求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小.

17.正四棱锥S—ABCD中，所有棱长都是2，P为SA的中点，如图.

（1）求二面角B—SC—D的大小；

（2）求DP与SC所成的角的大小.

18.如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1，A1A的中点；

（1）求

（2）求

（3）

（4）求CB1与平面A1ABB1所成的角的余弦值.

高中数学选修2-1测试题（10）—空间向量

（1）参考答案

DDBBDCDAAB11.012.（1，1，1）13.60014.3

15.

（1）略

（2）45016.45017.

（1）

（2）

18.

（1）

（2）（3）略（4）

18.如图，建立空间直角坐标系O—xyz.

（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）

∴||=.

（2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）

∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=∴cos<，>=.

（3）证明：

依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.

评述：

本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.