高中数学 212第2课时 指数函数及其性质的应用课时作业 新人教A版必修1.docx

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高中数学212第2课时指数函数及其性质的应用课时作业新人教A版必修1

2019-2020年高中数学2.1.2第2课时指数函数及其性质的应用课时作业新人教A版必修1

知识点及角度

难易度及题号

基础

中档

稍难

比较大小

2

解不等式

3

9

最值问题

5

综合问题

1、4

6、7、8

10

解析：

∵f（x）＝ax在（0,2）内的值域是（a2,1），

∴f（x）在（0,2）内单调递减，∴0＜a＜1，故选A.

答案：

A

5．若函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g（x）＝（1－4m）x2在[0，＋∞）上是增函数，则a＝______.

解析：

当a＞1时，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g（x）＝－x2在[0，＋∞）上是减函数，不合题意．若0＜a＜1，则a－1＝4，a2＝m，故a＝，m＝，检验知符合题意．

答案：

6．若函数f（x）＝的定义域为R，则a的取值范围是________．

解析：

∵f（x）的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立，

∴Δ＝4a2＋4a≤0，－1≤a≤0.

答案：

[－1,0]

7．若ax＋1＞5－3x（a＞0，且a≠1），求x的取值范围．

解：

ax＋1＞5－3x⇔ax＋1＞a3x－5，当a＞1时，可得x＋1＞3x－5，

∴x＜3.

当0＜a＜1时，可得x＋1＜3x－5，

∴x＞3.

综上，当a＞1时，x＜3，当0＜a＜1时，x＞3.

8．已知函数f（n）＝是增函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0,1）B．（7,8）

C．[7,8）D．（4,8）

解析：

因为函数f（n）＝

是增函数，所以

解得4＜a＜8，故选D.

答案：

D

9．函数y＝x－3x在区间[－1,1]上的最大值为______．

解析：

设－1≤x1＜x2≤1，

因为函数y＝x在[－1,1]上为减函数，

所以x1＞x2①，

因为函数y＝3x在[－1,1]上为增函数，所以3x1＜3x2，

所以－3x1＞－3x2②

由①②可知，x1－3x1＞x2－3x2，

所以函数y＝x－3x在[－1,1]上为减函数，

当x＝－1时，函数y＝x－3x在[－1,1]上取最大值，

最大值为－1－3－1＝.

答案：

10．求函数y＝3－x2＋2x＋3的单调区间和值域．

解：

设u＝－x2＋2x＋3，则f（u）＝3u.

∵f（u）＝3u在R上是增函数，

且u＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4

在（－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞）上是减函数，

∴y＝f（x）在（－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞）上是减函数．

∴当x＝1时，ymax＝f

（1）＝81，

而y＝3－x2＋2x＋3>0，

∴函数的值域为（0,81]．

11．函数f（x）＝（ax＋a－x）（a＞0，且a≠1）的图象经过点.

（1）求f（x）的解析式；

（2）求证：

f（x）在[0，＋∞）上是增函数．

（1）解：

∵f（x）的图象经过点，

∴（a2＋a－2）＝，

即9a4－82a2＋9＝0，解得a2＝9或a2＝.

∵a＞0，且a≠1，∴a＝3或.

当a＝3时，f（x）＝（3x＋3－x）；

当a＝时，f（x）＝＝（3x＋3－x）．

∴所求解析式为f（x）＝（3x＋3－x）．

（2）证明：

设x1，x2∈[0，＋∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝（3x1－3x2），由0≤x1＜x2得，3x1－3x2＜0,3x1＋x2＞1，∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[0，＋∞）上是增函数．

12．已知函数f（x）＝a－.（a∈R）

（1）判断并证明函数的单调性；

（2）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；

（3）在

（2）的条件下，若对任意的t∈R，不等式f（t2＋2）＋f（t2－tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

解：

（1）函数f（x）为R上的增函数．

证明如下：

显然函数f（x）的定义域为R，对任意x1，x2∈R，设x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝－

＝

因为y＝2x是R上的增函数，且x1＜x2，所以2x1－2x2＜0，

所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）为R上的增函数．

（2）因为函数f（x）的定义域为R，且为奇函数，所以f（0）＝0，

即f（0）＝a－＝0，解得a＝1.

（3）因为f（x）是奇函数，从而不等式f（t2＋2）＋f（t2－tk）＞0对任意的t∈R恒成立等价于不等式f（t2＋2）＞f（tk－t2）对任意的t∈R恒成立．

又因为f（x）在R上为增函数，所以等价于不等式t2＋2＞tk－t2对任意的t∈R恒成立，即不等式2t2－kt＋2＞0对任意的t∈R恒成立．

所以必须有Δ＝k2－16＜0，即－4＜k＜4，所以，实数k的取值范围是（－4,4）．

1．比较两个指数式值的大小的主要方法．

（1）比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．

（2）比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am＜c且c＜bn，则am＜bn；若am＞c且c＞bn，则am＞bn.

2．解简单指数不等式问题的注意点．

（1）形如ax＞ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解，如果a的值不确定，需分0＜a＜1和a＞1两种情况进行讨论．

（2）形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．

（3）形如ax＞bx的不等式，可借助图象求解.

3．对于函数y＝af（x），x∈D，其最值由底数a和f（x）的值域确定．求指数函数的最值时要注意函数定义域．

2019-2020年高中数学2.1.2第2课时指数函数及其性质的应用课时作业（含解析）新人教A版必修1

一、选择题

1．若2x＋1<1，则x的取值范围是（　　）

A．（－1，1）　　　　　　　　B．（－1，＋∞）

C．（0，1）∪（1，＋∞）D．（－∞，－1）

【解析】　∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，

∴x＋1<0，∴x<－1.

【答案】　D

2．下列判断正确的是（　　）

A．1.72.5＞1.73B．0.82＜0.83

C．π2＜πD．0.90.3＞0.90.5

【解析】　∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.

【答案】　D

3．（xx·湖南高考）下列函数中，既是偶函数又在区间（－∞，0）上单调递增的是（　　）

A．f（x）＝B．f（x）＝x2＋1

C．f（x）＝x3D．f（x）＝2－x

【解析】　A中f（x）＝是偶函数，且在（－∞，0）上是增函数，故A满足题意．B中f（x）＝x2＋1是偶函数，但在（－∞，0）上是减函数．C中f（x）＝x3是奇函数．D中f（x）＝2－x是非奇非偶函数．故B，C，D都不满足题意．

【答案】　A

4．已知函数f（x）＝（a2－1）x，若x＞0时总有f（x）＞1，则实数a的取值范围是（　　）

A．1＜|a|＜2B．|a|＜2

C．|a|＞1D．|a|＞

【解析】　由题意知a2－1＞1，解得a＞或a＜－，故选D.

【答案】　D

二、填空题

5．不等式0.52x>0.5x－1的解集为________（用区间表示）．

【解析】　∵0<0.5<1，∴由0.52x>0.5x－1得2x

【答案】　（－∞，－1）

6．函数y＝ax（a＞0，且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值的和为6，则a的值为________．

【解析】　由于函数在[1，2]上必定单调，因此最大值与最小值都在端点处取得，于是必定有a＋a2＝6，又a＞0，解得a＝2.

【答案】　2

7．若2x>，则x的取值范围为________．

【解析】　∵＝2－0.5，又y＝2x在R上是增函数，

∴2x>⇔2x>2－0.5⇔x>－0.5.

【答案】　

三、解答题

8．（xx·广州高一检测）已知f（x）的图象与g（x）＝2x的图象关于y轴对称，且f（2x－1）＞f（3x），求x的取值范围．

【解】　因为f（x）的图象与g（x）＝2x的图象关于y轴对称，

所以f（x）＝，

因为f（2x－1）＞f（3x），

所以＞，

所以2x－1＜3x，所以x＞－1.

9．设函数f（x）＝＋是R上的偶函数且a＞0.

（1）求a的值．

（2）判断f（x）在（0，＋∞）上的单调性．

【解】　

（1）因为f（x）是R上的偶函数，

所以f（－1）＝f

（1），

即＋＝＋，

所以＝e，

故－a＝0，又a＞0，所以a＝1.

（2）由

（1）知f（x）＝ex＋e－x.

设任意的x1，x2＞0，且x1＜x2，

f（x1）－f（x2）＝ex1＋e－x1－ex2－e－x2

＝ex1－ex2＋－

＝ex1－ex2＋

＝（ex1－ex2），

因为x1，x2＞0且x1＜x2，

所以ex1＜ex2且ex1ex2＞1，

故（ex1－ex2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

所以f（x）在（0，＋∞）上为增函数．

1．设函数f（x）＝a－|x|（a＞0，且a≠1），若f

（2）＝4，则（　　）

A．f（－2）＞f（－1）　　　　　B．f（－1）＞f（－2）

C．f

（1）＞f

（2）D．f（－2）＞f

（2）

【解析】　f

（2）＝a－2＝4，a＝，f（x）＝＝2|x|，得f（－2）＞f（－1）．

【答案】　A

2．若函数f（x）＝，则该函数在（－∞，＋∞）上（　　）

A．单调递减且无最小值

B．单调递减且有最小值

C．单调递增且无最大值

D．单调递增且有最大值

【解析】　函数f（x）＝为减函数，2x＋1＞1，故f（x）＝∈（0，1），无最值．

【答案】　A

3．我国第六次人口普查人口数约为13.397亿．如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数大约为________亿（精确到亿）．

【解析】　人口年增长率为1%，经过x年后，设我国人口数为y亿，第六次人口普查时人口数约为13.397亿；

经过1年后，人口数为13.397＋13.397×1%＝13.397×（1＋1%）（亿）；

经过2年后人口数为13.397×（1＋1%）＋13.397×（1＋1%）×1%

＝13.397×（1＋1%）2（亿）；

经过3年后人口数为13.397×（1＋1%）2＋13.397×（1＋1%）2×1%

＝13.397×（1＋1%）3（亿）；

…

所以经过x年后人口数为

y＝13.397×（1＋1%）x（亿）（x∈N*）．

当x＝20时，y＝13.397×1.0120≈16（亿）．

【答案】　16

4．（xx·永安高一检测）设a是实数，函数f（x）＝a－（x∈R）．

（1）证明：

对于任意的实数a，函数f（x）在R上为增函数．

（2）试确定a的值，使函数f（x）为奇函数．

【解】　

（1）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）

＝－

＝－＝

由于指数函数y＝2x是R上的增函数，且x1＜x2，

所以2x1＜2x2，即2x1－2x2＜0.

又2x1＋1＞0，2x2＋1＞0，

所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）

因为此结论与a的取值无关，所以对任意的实数a，函数f（x）在R上为增函数．

（2）因为f（x）为奇函数，则f（－x）＝－f（x），即

a－＝－

整理得2a＝＋＝＝2，解得a＝1.

经检验a＝1符合题意，

所以当a＝1时，函数f（x）为奇函数．