高中数学抛物线解题方法总结归纳文档格式.docx
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⑤抛物线上的动点可设为P或
5一般情况归纳:
方程
图象
焦点
准线
定义特征
y2=kx
k>
0时开口向右
(k/4,0)
x=─k/4
到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x=─k/4的距离
k<
0时开口向左
x2=ky
0时开口向上
(0,k/4)
y=─k/4
到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y=─k/4的距离
0时开口向下
题型讲解例1根据下列条件填空:
(1)过点(-3,2)的抛物线方程为;
y2=-x或x2=y,
(2)焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线方程为y2=16x或x2=-8y,
(3)抛物线的焦点坐标为 ;
(4)已知抛物线顶点在原点,焦点在坐标轴上,抛物线上的点到焦点F的距离为5,则抛物线方程为 ;
或或.
(5)已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是
例2.斜率为1的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于两点,求线段的长.
解:
法一 通法
法二设直线方程为,,
则由抛物线定义得,
又是抛物线与直线的交点,由得,
则,所以.
例3.求证:
以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切.
证明:
(法一)设抛物线方程为,则焦点,准线.设以过焦点的弦为直径的圆的圆心,、、在准线上的射影分别是、、,
则,
又,
∴,即为以为直径的圆的半径,且准线,∴命题成立.
(法二)设抛物线方程为,则焦点,准线.过点的抛物线的弦的两个端点,,线段的中点,则,
∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径.
点到准线的距离,∴圆与准线相切.
例4.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线上,求这个正三角形的边长.
设正三角形的顶点、在抛物线上,
且设点,,则,
,又,所以,
即,
.
∵,,,∴.
由此可得,即线段关于轴对称.
因为轴垂直于,且,所以.
∵,∴,∴.
例5A,B是抛物线y2=2px(p>
0)上的两点,满足OA^OB(O为坐标原点)求证:
(1)A,B两点的横坐标之积,纵坐标之积为定值;
(2)直线AB经过一个定点
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=2px1,y22=2px2,
∴y12y22=4p2x1x2,
∵OA^OB,∴x1x2+y1y2=0,
由此即可解得:
x1x2=4p2,y1y2=─4p2(定值)
(2)直线AB的斜率k===,
∴直线AB的方程为y─y1=(x─),
即y(y1+y2)─y1y2=2px,由
(1)可得y=(x─2p),
直线AB过定点C(2p,0)
例6.定长为3的线段的两端点在抛物线上移动,设点为线段的中点,求点到轴的最小距离.
抛物线焦点,准线:
设点、、在准线上的射影分别是
、、,设点,
又,,
∴,所以,即的最小值是.
∴点到轴的最小距离是,当且仅当过点是取得最小距离
例7设抛物线y2=2px(p>
0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴证明直线AC经过原点O
分析:
证直线AC经过原点O,即证O、A、C三点共线,为此只需证kOC=kOA本题也可结合图形特点,由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决
证法一:
设AB:
x=my+,代入y2=2px,得y2-2pmy-P2=0
由韦达定理,得yAyB=-p2,
即yB=-
∵BC∥x轴,且C在准线x=-上,
∴C(-,yB)
则kOC====kOA
故直线AC经过原点O
证法二:
如图,记准线l与x轴的交点为E,过A作AD⊥l,垂足为D
则AD∥EF∥BC连结AC交EF于点N,
则==,=
∵|AF|=|AD|,|BF|=|BC|,
∴|EN|===|NF|,
即N是EF的中点从而点N与点O重合,故直线AC经过原点O
点评:
本题的“几何味”特别浓,这就为本题注入了活力在涉及解析思想较多的证法中,关键是得到yA·
yB=-p2这个重要结论还有些证法充分利用了平面几何知识,这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视,也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目
例8、已知抛物线,点A(2,3),F为焦点,若抛物线上的动点到A、F的距离之和的最小值为,求抛物线方程.
分析:
在解析几何中,关于到两个定点的距离之和的最小值(或距离之差的最大值)问题,运用纯代数方法解,导致复杂运算,因而常运用几何方法与相关曲线的定义。
解:
注意到抛物线开口大小的不确定性
(1)当点A和焦点F在抛物线的异侧时,由三角形性质得
∴
∴,解得p=2或p=6。
注意到p=6时,抛物线方程为,此时若x=2,则,与点A所在区域不符合;
当p=2时,抛物线方程为,当x=2时,,符合此时的情形。
(2)当点A和焦点F在抛物线的同侧时(如图),作MN⊥准线l于点N,,
得 ∴
∴,解得 易验证抛物线符合此时情形。
于是综合
(1)、
(2)得所求抛物线方程为或.
点评:
求解此题有两大误区:
一是不以点A所在的不同区域分情况讨论,二是在由
(1)(或
(2))导出抛物线方程后不进行检验。
事实上,在这里不论是A在什么位置,总得成立,本题进行的检验是必要的.
例9已知抛物线与直线相交于A、B两点,
①求证;
;
②当的面积等于时,求的值
分析:
根与系数的关系、弦长公式或应用向量解题。
证明:
①设;
由A,N,B共线
又
解②由得
解法2:
由OM^AB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点)立即可求出
学生练习
1抛物线的焦点坐标为()
ABCD
答案:
A解析:
从初中学的抛物线(二次函数)到高中的抛物线
2已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是
ABCD答案:
C
解析:
把转化为M到准线的距离,然后求的最小值
3过抛物线的焦点作直线交抛物线于,若,那么等于()
A10B8C6D4
B解析:
4抛物线顶点在原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线上,则其方程为()
A或B或
C或D不确定
C解析:
解直线与两轴交点坐标,进而求
5过点(0,2)与抛物线只有一个公共点的直线有()
A1条B2条C3条D无数条
C解析:
相切与相交均能产生一个公共点
6一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分,它的方程为,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,则玻璃球的半径的范围为()
ABCD
设圆心A(0,t),抛物线上的点为P(x,y),列出转化为二次函数问题
7抛物线的动弦AB长为,则AB中点M到轴的最短距离是()
ABCD
D解析:
可证弦AB通过焦点F时,所求距离最短
8直线过抛物线的焦点,并且与轴垂直,若被抛物线截得的线段长为4,则()
A4B2CD
A解析:
所截线段长恰为通径
9过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若PF与FQ的长分别为p、q,则等于()
ABCD
C解析:
考虑特殊位置,令焦点弦PQ平行于轴,
10设抛物线的轴和它的准线交于E点,经过焦点F的直线交抛物线于P、Q两点(直线PQ与抛物线的轴不垂直),则与的大小关系为()
AB
CD不确定
答案:
向量解法:
由A、F、B共线得(重要结论),进而得出
11已知抛物线上一定点和两动点P、Q,当P点在抛物线上运动时,,则点Q的横坐标的取值范围是()
ABC[-3,-1]D
D
12过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则()
ABCD
因为A、F、B三点共线所以
13在抛物线y2=2px上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为
AB1C2D4
答案:
C解析:
抛物线的准线方程为x=-,由抛物线的定义知4+=5,解得P=2
14设a≠0,a∈R,则抛物线y=4ax2的焦点坐标为
A(a,0)B(0,a)C(0,)D随a符号而定
C解析:
化为标准方程
15以抛物线y2=2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系为
A相交B相离C相切D不确定
利用抛物线的定义
16以椭圆+=1的中心为顶点,以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点,则|AB|的值为___________
中心为(0,0),左准线为x=-,所求抛物线方程为y2=x又椭圆右准线方程为x=,联立解得A(,)、B(,-)
∴|AB|=
17对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:
①焦点在y轴上;
②焦点在x轴上;
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;
④抛物线的通径的长为5;
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1)
能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________(要求填写合适条件的序号)
解析:
由抛物线方程y2=10x可知②⑤满足条件
②⑤
18抛物线的焦点弦AB,求的值
解:
由得
19设一动直线过定点A(2,0)且与抛物线相交于B、C两点,点
B、C在轴上的射影分别为,P是线段BC上的点,且适合,求的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形
设,
由得
①
又代入①式得②
由得代入②式得:
由得或,又由①式知关于是减函数且
且
所以Q点轨迹为一线段(抠去一点):
(且)
16