高中数学总结：基本初等函数Word格式文档下载.doc

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（2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：

且．0的正分数指数幂等于0．

②正数的负分数指数幂的意义是：

且．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：

底数取倒数，指数取相反数．

（3）分数指数幂的运算性质

①②

③

【2.1.2】指数函数及其性质

（4）指数函数

函数名称

指数函数

定义

1

函数且叫做指数函数

图象

定义域

值域

过定点

图象过定点，即当时，．

奇偶性

非奇非偶

单调性

在上是增函数

在上是减函数

函数值的

变化情况

变化对 图象的影响

在第一象限内，越大图象越高；

在第二象限内，越大图象越低．

〖2.2〗对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义

①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：

．

（2）几个重要的对数恒等式

，，．

（3）常用对数与自然对数

常用对数：

，即；

自然对数：

，即（其中…）．

（4）对数的运算性质如果，那么

①加法：

②减法：

③数乘：

④

⑤⑥换底公式：

【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数

函数

名称

对数函数

函数且叫做对数函数

在第一象限内，越大图象越靠低；

在第四象限内，越大图象越靠高．

（6）反函数的概念

设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．

（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；

②从原函数式中反解出；

③将改写成，并注明反函数的定义域．

（8）反函数的性质

①原函数与反函数的图象关于直线对称．

②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．

③若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．

④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．

〖2.3〗幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．

（2）幂函数的图象

（3）幂函数的性质

①图象分布：

幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于轴对称）；

是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；

是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

②过定点：

所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．

③单调性：

如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．

④奇偶性：

当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．

⑤图象特征：

幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．

〖补充知识〗二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

①一般式：

②顶点式：

③两根式：

（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．

③若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便．

（3）二次函数图象的性质

①二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是．

②当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；

当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，．

③二次函数当时，图象与轴有两个交点．

（4）一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．

设一元二次方程的两实根为，且．令，从以下四个方面来分析此类问题：

①开口方向：

②对称轴位置：

③判别式：

④端点函数值符号．

①k＜x1≤x2

②x1≤x2＜k

③x1＜k＜x2af（k）＜0

④k1＜x1≤x2＜k2

⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2f（k1）f（k2）0，并同时考虑f（k1）=0或f（k2）=0这两种情况是否也符合

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2

此结论可直接由⑤推出．

（5）二次函数在闭区间上的最值

设在区间上的最大值为，最小值为，令．

（Ⅰ）当时（开口向上）

①若，则②若，则③若，则

x

y

>

a

O

b

2

-

=

p

q

f（p）

f（q）

①若，则②，则

（Ⅱ）当时（开口向下）

<

①若，则②，则．