高中数学完整讲义排列与组合4.排列数组合数的计算与证明Word文档格式.docx

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分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．

2．排列与组合

⑴排列：

一般地，从个不同的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）

排列数：

从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．

排列数公式：

，，并且．

全排列：

一般地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列．

的阶乘：

正整数由到的连乘积，叫作的阶乘，用表示．规定：

．

⑵组合：

一般地，从个不同元素中，任意取出个元素并成一组，叫做从个元素中任取个元素的一个组合．

组合数：

从个不同元素中，任意取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中，任意取出个元素的组合数，用符号表示．

组合数公式：

组合数的两个性质：

性质1：

；

性质2：

．（规定）

⑶排列组合综合问题

解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：

1．特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法：

先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；

位置优先法：

先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；

2．分类分步法：

对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．

3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．

4．捆绑法：

某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．

5．插空法：

某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．

6．插板法：

个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题——把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有．

7．分组、分配法：

分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成堆（组），必须除以！

，如果有堆（组）元素个数相等，必须除以！

8．错位法：

编号为1至的个小球放入编号为1到的个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．

1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：

①元素分析法：

以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；

②位置分析法：

以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

③间接法：

先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．

求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；

再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；

然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；

最后列出式子计算作答．

2．具体的解题策略有：

①对特殊元素进行优先安排；

②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；

③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；

④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；

对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；

⑤顺序固定的问题用除法处理；

分几排的问题可以转化为直排问题处理；

⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．

⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．

典例分析

排列数组合数的简单计算

【例1】对于满足的正整数，（）

A．B．C．D．

【例2】计算______．

【例3】计算，；

【例4】计算______，_______．

【例5】计算，；

【例6】计算，，，，．

【例7】已知，求的值．

【例8】解不等式

【例9】证明：

【例10】解方程．

【例11】解不等式．

【例12】解方程：

【例13】解不等式：

【例14】设表示不超过的最大整数（如，），对于给定的，定义，，则当时，函数的值域是（）

A． B．

C． D．

【例15】组合数恒等于（）

A．B．C．D．

【例16】已知，求、的值．

排列数组合数公式的应用

【例17】已知，求的值．

【例18】若，则_______

【例19】若，则

【例20】证明：

【例21】证明：

【例22】求证：

．

【例23】证明：

【例24】证明：

【例25】求证：

【例26】计算：

，

【例27】证明：

．（其中）

【例28】解方程

【例29】确定函数的单调区间．

【例30】规定，其中，为正整数，且，这是排列数（是正整数，且）的一种推广．

⑴求的值；

⑵排列数的两个性质：

①，②（其中是正整数）．是否都能推广到（，是正整数）的情形?

若能推广，写出推广的形式并给予证明；

若不能，则说明理由．

7

思维的发掘能力的飞跃