高中数学好题速递400题(201250)Word文件下载.doc

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由题意知

所以，所以

好题速递204题

解析几何模块7．已知点是双曲线上的动点，是其左、右焦点，坐标原点，若的最大值是，则此双曲线的离心率是．

解：

设，则

又，所以

所以

所以的最大值在时取到，所以

所以，即

好题速递205题

解析几何模块8．在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线与圆相交于两点，为弦上一动点，以为圆心，2为半径的圆与圆总有公共点，则实数的取值范围是．

两圆有公共点的充要条件是，而恒成立，故只要时两圆必有公共点．由平面几何知识可知，为点到直线的距离，所以，解得

好题速递206题

解析几何模块9．已知点，，若圆上存在一点，使得，则的最大值为．

由得在以中点为圆心，为半径的圆上，所以的轨迹方程为，所以圆的半径为，又由在圆上，的圆心，半径为1，当圆与圆内切时，最大为

好题速递207题

立体几何模块1．如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，并且平面，则动点的轨迹是（）

A．圆B．椭圆C．抛物线D．线段

如图，取的中点，的中点，显然可证明平面平面，当在线段上时，均有平面，即动点的轨迹是线段。

点评：

善于转化是解决立体几何中平行与垂直问题的关键。

例如，考虑“线线平行”时，可转化为“线面平行”或“面面平行”；

考虑“线面平行”时，可转化为“线线平行”或“面面平行”；

考虑“面面平行”时，可转化为“线线平行”或“线面平行”。

在斜二测画法画图时，平行关系不会改变，因为要找平行线，可以考虑在图象上推平行线，然后关注哪个位置看起来比较特殊，例如中点，中位线之类。

好题速递208题

立体几何模块2．如图，在三棱柱的侧棱与上各有一个动点，，且满足，是棱上的动点，则的最大值是．

（注：

这里用到了梯形的面积与的面积相等。

）

即与重合时，最大，

设，为定值，则是关于的增函数

好题速递209题

立体几何模块3．已知线段，且与平面的距离为4，点是平面上的动点，且满足，若，则线段长度的取值范围是．

如图，将线段投影到平面上，得到射影，将空间问题平面化，则动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，

又，，，

好题速递210题

立体几何模块4．已知为正方体对角线上的一点，且，下面结论：

①；

②若平面，则；

③若为钝角三角形，则；

④若，则为锐角三角形．

其中正确结论的序号为．

在正方体中，平面，又平面，故，①正确；

由题可知，若平面，则

设正方体的棱长为1，则，，，在中，

所以，所以，②正确；

在正方体中，以为轴，为轴，为轴建系，设棱长为2，则

设，由，得

所以，，

若为钝角三角形，则为钝角，，解得，③错；

同理，当时，，所以为锐角三角形，④正确。

所以正确结论为①②④。

好题速递211题

立体几何模块5．如图，在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点有个．

点既在以为焦点，长轴为2的椭球上，又在正方体的棱上。

因为，故点在以为焦点，长轴为2的椭球外，所以椭球必与线段相交（交点就是的中点），同理在上各有一个交点满足条件

又若点在上，则，故上不存在满足条件的点，同理上也不存在满足条件的点。

好题速递212题

立体几何模块6．将一个长宽分别为的铁皮的四个角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子（不计粘合处），若这个长方体的外接球的面积存在最小值，则的取值范围是．

设切去的小正方形的边长为，长方体的外接球的半径为

则

因为长方体的外接球的面积存在最小值，所以，解得

好题速递213题

在直角梯形中，，，，，动点在以为圆心且过点的圆内运动（不含边界），设，则的取值范围是．

建立直角坐标系，，，，，

动点在内运动，所以

求目标函数的取值范围是

好题速递214题

在曲线上任取两点，则的最小值为．

记，则

且，，

同时满足，即，

当且仅当时取得“=”，故的最小值为2．

好题速递215题

已知函数是定义在上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则．

令，则，所以

令，则

当时，由得

则，故

好题速递216题

已知实数，设函数的两个零点分别为，则下列关系中恒成立的是（）

（A）（B）

（C）（D）

的两个零点，

即的两个零点

因为开口向上，，又，所以

即函数的零点一个大于，一个小于，且，

所以根据“一上一下，中间一点”的原则，可知，选C

好题速递217题

已知点在抛物线上，若的三个顶点都在抛物线上，记三边所在直线的斜率分别为，则．

，设，

抛物线题目的计算量相对于椭圆、双曲线要小一些，主要是基于抛物线上的点的设法，在化简过程中利用好平方差公式，可以使得计算简便。

这个过程要做到比较熟练。

好题速递218题

已知函数与函数在区间上都有零点，则的最小值为．

由题意知，，两式相加得

，两式相加得

当且仅当时取得等号。

这里用到了基本不等式，如果一下子看不出来，也可以先利用齐次化思想，将分子分母同除以，令，将式子简化，就容易发现了。

好题速递219题

已知函数，若在上既有最大值又有最小值，且最大值与最小值的和为4，则．

已知在上既有最大值又有最小值，故

又是奇函数，且最大值与最小值的和为4，则，

故

好题速递220题

对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：

①在内是单调的；

②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”．若存在“和谐区间”，则的取值范围是．

因为在和上是增函数，所以或，且，

因此是方程的两个不相等且同号的实数根，即有两个不相等且同号的实数根

又且，故只需，解得

又，故

好题速递221题

已知以为周期的函数，其中，若恰有5个实数解，则的取值范围是．

当时，原函数式化为方程，表示一个半椭圆，当时，是两线段和组成的折线，再根据周期性画出大致图象如图所示。

由图象可知，当直线与第二个半椭圆相交，而与第三个半椭圆无交点时，方程恰有5个实数解，

由方程组消去得

由，解得

由，解得，所以

好题速递222题

（2015重庆理科第16题）若函数的最小值为5，则________．

按照两类分类讨论，画出的折线图，图象最低点的纵坐标为5，求得或

由题意得，从而

设

的图象是以为顶点的开口向上的“V”形图。

的图象是以为顶点的开口向下（开口比的图象开口大）的“V”形图，且与轴交点的坐标为。

当或时，，所以若函数的最小值为5，则或

好题速递223题

若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且，则的取值范围是________．

设点满足，点满足

两式相加得点的轨迹是直线

同时点满足

所以满足条件的点在线段上，其中点，分别为直线与圆的交点，表示线段上的点与坐标原点连线距离的平方，所以当运动到或时，取得最大值为16，当运动到圆心时，取得最小值为8，故

将代入，得到

将代入得

好题速递224题

★设反比例函数与二次函数的图象有且仅有两个不同的公共点，，且，则．

与的图象有且仅有两个不同的公共点

方程有两个不同的实数根

三次方程仅有两个实根，故必有一个是一次根，一个是重根。

方程或

对于第一种情况，等式两边展开比较系数得，，

故，因为，所以，

对于第二种情况，等式两边展开比较系数得，，

故，因为，所以，但由知，与矛盾，故舍去。

本题是自山东高考题改编而来，解法中运用了三次方程求根的因式分解，奇次根穿过与偶次根反弹的问题。

浙江高考曾多次考过类似的问题，值得注意。

例如：

（2014浙江文7）已知函数，且，则

A．B．C．D．

方程的三个根为，

比较系数得，故

（2012浙江理17）设，若时均有，则____．

，且，因为对恒成立，则必是二重零点

代入得：

，解之得：

，舍去，得答案：

（2013浙江文16）设，若时恒有，则。

【解析】当时，有，所以得，代回原式

故必定是重根，即中必有因子，所以，所以

这三道题都是加深零点意义理解的好题。

零点就像是x轴上的守门员，关系着函数正负性变化的重任，“奇重零点穿过，偶重零点反弹”。

好题速递225题

设是正实数，且，则的最小值是________．

设，，则题目变为“已知，求的最小值。

当且仅当，即，即时取得等号

本题还是分母换元使得式子简化，灵活运用均值不等式。

好题速递226题

（重庆高考题）函数的值域是__________．

设，则问题变为求的值域

当时，有

将视为圆上任一点与原点连线的斜率，结合图形可知，

所以，

当时，

综上可知，

注意到，联想其结构特征与三角函数中的正余弦定义式相似

于是设直线的倾斜角为，则

好题速递227题

已知，，，，则的取值范围是________．

考虑向量模的几何意义

由和，可作出图形

的终点必在以为直径的圆上

又，故的终点必在以为圆心，1为半径的圆上

所以问题转化为与（半径为1的小圆）有交点

注意到的半径为，圆心距

所以两圆相交需满足

且有

作一个整体换元，设，

问题转化为规划问题，已知，求的取值范围。

如图可得

代数方法

，因此只需求的取值范围

即，解得

所以，故

解法三：

解析几何坐标方法

设，设A，B是以O为圆心，2为半径的圆上两点，且AC^BC，则|a－b|=AB=2MC．

∵MO2+MA2=OA2，而MA=MC，∴MO2