高中数学双曲线经典例题文档格式.doc
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2、设F1,F2是双曲线C:
(a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°
,则C的离心率为 .
3、双曲线的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(﹣1,0)到直线l的距离之和.则双曲线的离心率e的取值范围是( )
A. B. C. D.
3、焦点三角形
1、设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点,F为双曲线的右焦点,
已知A(3,1),则|PA|+|PF|的最小值为 .
2、.已知F1,F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点,P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=120°
,求△F1PF2的面积.
3、已知双曲线焦点在y轴上,F1,F2为其焦点,焦距为10,焦距是实轴长的2倍.求:
(1)双曲线的渐近线方程;
(2)若P为双曲线上一点,且满足∠F1PF2=60°
,求△PF1F2的面积.
4、直线与双曲线的位置关系
已知过点P(1,1)的直线L与双曲线只有一个公共点,则直线L的斜率k= ____
5、综合题型
如图,已知椭圆(a>
b>
0)的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(+1),一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,证明:
k1·
k2=1;
(3)是否存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·
|CD|恒成立?
若存在,求λ的值;
若不存在,请说明理由.
参考答案与试题解析
一.选择题(共2小题)
1.(2015秋•洛阳校级期末)已知两圆C1:
【解答】解:
由题意,①若两定圆与动圆相外切或都内切,即两圆C1:
(x﹣4)2+y2=2,动圆M与两圆C1,C2都相切,
∴|MC1|=|MC2|,即M点在线段C1,C2的垂直平分线上
又C1,C2的坐标分别为(﹣4,0)与(4,0)
∴其垂直平分线为y轴,
∴动圆圆心M的轨迹方程是x=0
②若一内切一外切,不妨令与圆C1:
(x+4)2+y2=2内切,与圆C2:
(x﹣4)2+y2=2外切,则有M到(4,0)的距离减到(﹣4,0)的距离的差是2,由双曲线的定义知,点M的轨迹是以(﹣4,0)与(4,0)为焦点,以为实半轴长的双曲线,故可得b2=c2﹣a2=14,故此双曲线的方程为
综①②知,动圆M的轨迹方程为
应选D.
2.(2014•齐齐哈尔三模)双曲线的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(﹣1,0)到直线l的距离之和.则双曲线的离心率e的取值范围是( )
直线l的方程为+=1,即bx+ay﹣ab=0.
由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l的距离,
同理得到点(﹣1,0)到直线l的距离.,.
由,得..
于是得5≥2e2,即4e4﹣25e2+25≤0.
解不等式,得≤e2≤5.
由于e>1>0,
所以e的取值范围是.
故选D.
二.填空题(共5小题)
3.(2013秋•城区校级期末)已知P是双曲线=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,若|PF1|=17,则|PF2|的值为 33 .
由双曲线方程知,a=8,b=6,则c==10.
∵P是双曲线上一点,
∴||PF1|﹣|PF2||=2a=16,
又|PF1|=17,
∴|PF2|=1或|PF2|=33.
又|PF2|≥c﹣a=2,
∴|PF2|=33.
故答案为33
4.(2008秋•海淀区期末)已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点,P为该双曲线上一点,若△PF1F2为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为 .
由题意,角F1或角F2为直角,不妨令角F2为直角,双曲线方程﹣=1
此时P(c,y),代入双曲线方程﹣=1
解得y=
又三角形PF1F2为等腰三角形得PF2=F1F2,
故得=2c,即2ac=c2﹣a2,
即e2﹣2e﹣1=0,解得e=1
故双曲线的离心率是
故答案为.
5.(2014秋•象山县校级月考)设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点,F为双曲线的右焦点,已知A(3,1),则|PA|+|PF|的最小值为 ﹣2 .
设双曲线左焦点为F2,
由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF|=2a,即|PF|=|PF2|﹣2a,
则|PA|+|PF|=|PF2|+|PA|﹣2a≥|F2A|﹣2a,
当P、F2、A三点共线时,|PF2|+|PA|有最小值,
此时F2(﹣2,0)、A(3,1),
则|PF2|+|PA|=|AF2|=,
而对于这个双曲线,2a=2,
所以最小值为﹣2.
故答案为:
﹣2.
6.(2011秋•张家港市校级期末)与双曲线有相同的焦点,且过点的双曲线的标准方程是 .
设所求双曲线的方程为,
∵已知双曲线的焦点为(±
,0)
∴所求双曲线中的c2=5①
∵双曲线过点
∴②
且c2=a2+b2③
联立①②③解得a2=4,b2=1,
∴双曲线的方程为.
.
7.(2013•湖南)设F1,F2是双曲线C:
依题意可知∠F1PF2=90°
|F1F2|=2c,
∴|PF1|=|F1F2|=c,|PF2|=|F1F2|=c,
由双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a=(﹣1)c
∴e==.
三.解答题(共4小题)
8.已知F1,F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点,P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=120°
由题意,双曲线3x2﹣5y2=75,可化为=1
由余弦定理可得160=PF12+PF22﹣2PF1•PF2cos120°
=(PF1﹣PF2)2+3PF1•PF2=100+3PF1•PF2,
∴PF1•PF2=20.
S△F1PF2=PF1•PF2sin120°
=×
20×
=5.
A.
9.(2014春•湄潭县校级期中)已知双曲线焦点在y轴上,F1,F2为其焦点,焦距为10,焦距是实轴长的2倍.求:
(1)设双曲线方程为(a>0,b>0),则
∵焦距是实轴长的2倍,
∴c=2a,
∴b==a,
∴双曲线的渐近线方程为y=±
x;
(2)由余弦定理可得4c2=PF12+PF22﹣2PF1•PF2cos60°
=(PF1﹣PF2)2+PF1•PF2=4a2+PF1•PF2,
∵焦距为10,
∴2c=10,2a=5
∴PF1•PF2=75.
∴S△F1PF2=PF1•PF2sin60°
=•75•=.
10.(2008秋•岳阳校级期末)求焦点在坐标轴上,且经过点A(,﹣2)和B(﹣2,)两点的双曲线的标准方程.
设所求双曲线方程为:
mx2﹣ny2=1,(mn>0),
因为点A(,﹣2)和B(﹣2,)在双曲线上,
所以可得:
,
解得,
故所求双曲线方程为.
11.(2009秋•天心区校级期末)求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)焦点在x轴上,设所求双曲线的方程为=1.
由题意,得解得a=8,c=10.
∴b2=c2﹣a2=100﹣64=36.
所以焦点在x轴上的双曲线的方程为.
(2)当焦点在x轴上时,设所求双曲线的方程为=1
由题意,得解得a=3,b=.
同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为.
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