高一数学竞赛试卷(3)Word格式.doc

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在区间上的根是

12．函数的图像与轴围成的封闭域的面积是__________.

三．解答题：

13．已知函数的定义域为，值域为[-5,4]；

函数.

（Ⅰ）求函数g（x）的最小正周期和最大值;

（Ⅱ）当,且g（x）=5时,求tanx.

14.已知向量=（1,1）,向量与向量的夹角为，且·

．

（1）求向量；

（2）若向量与向量=（1,0）的夹角为，向量=（），其中A，C是△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，试求｜+｜的取值范围．

15．设为实数，函数.

（Ⅰ）讨论函数的奇偶性；

（Ⅱ）求函数的最小值.

14．

15．

解：

f（x）=a（1－cos2x）－sin2x＋b

=－a（cos2x＋sin2x）＋a＋b=－2asin（2x＋）＋a＋b. ----------------------------2分

∵x∈，∴2x＋，sin（2x＋）Î

.显然a=0不合题意.--------3分

（1）当a＞0时,值域为,即-----------------------------5分

（2）当a＜0时,值域为,即 6分

（Ⅰ）当a＞0时，g（x）=3sinx-4cosx=5sin（x+j1）,∴T=2p,g（x）max=5;

当a＜0时，g（x）=-3sinx+2cosx=sin（x+j2）,

∴T=p,g（x）max=. 8分

（Ⅱ）由上可知，

当a＞0时,由g（x）=5sin（x+j1），且tanj1=-,g（x）max=5，此时x+j1＝2kp+（k∈Z）.

则x=2kp+-j1（k∈Z）,x∈（0,p），∴tanx=cotj1＝-. 10分

当a<

0时,g（x）max=<

5，所以不存在符合题意的x. 12分

综上，tanx=－.------------------------------------------------------------------------------------13分

（1）解：

设，由，得----------------------------------------2分

∵向量与向量的夹角为，

又∵∴，则---------------------4分

解得或∴或----------6分

（2）解：

由向量与向量的夹角为，可知

由2B=A+C知B=，A+C=，0＜A＜--------------------8分

若，则

--------------------10分

∵0＜A＜，＜2A＜

∴，，----------------12分

∴----------------13分

（Ⅰ）当时，有，为偶函数；

当时，有,，此时，既不是奇函数也不是偶函数.

（Ⅱ）

（1）当时，.

①若，则在区间上是减函数；

；

②若，则.

（2）当时，.

①若，则在区间上是增函数；

综合上述，得.