高一数学必修2线、面垂直的判定与性质Word文档下载推荐.doc

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斜线PA在平面内的射影

垂足B

B

平面的垂线

直线与平面垂直 直线与直线垂直

3.线面角相关概念

（1）斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上

的射影所成的角

（2）平面的垂线与平面所成的角为直角

（3）一条直线与平面平行或在平

面内，则这条直线与平面所成的角为0

一条直线与平面所成的角的取值范围是

4.二面角相关概念：

以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作

垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

∠AOB即为二面角α-AB-β的平面角

注意：

二面角的平面角必须满足：

（1）角的顶点在棱上.

（2）角的两边分别在两个面内.（3）角的边都要垂直于二面角的棱.

二面角的取值范围

β

a

5.面面垂直的定义：

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记为b^a

6.判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

线线垂直线面垂直面面垂直

b

7.直线与平面垂直的性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线平行

8.面面垂直的性质定理：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

面面垂直Þ

线面垂直

二、例题解析

题型一、判断问题

例1、直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是（　　）

A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内 D．不能确定

变式：

如果一条直线垂直于一个平面内的：

①三角形的两边；

②梯形的两边；

③圆的两条直径；

④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直（　　）

A．①③ B．①②C．②④ D．①④

例2、已知直线a∥平面α，a⊥平面β，则（）

A．α⊥βB．α∥βC．α与β不垂直D．以上都有可能

下列命题中错误的是（）

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

例3、已知b⊥平面α，a⊂α，则直线a与直线b的位置关系是（）

A．a∥bB．a⊥bC．直线a与直线b垂直相交D．直线a与直线b垂直且异面

变式1：

下面四个命题，其中真命题的个数为（）

①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；

②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

③如果直线l与平面α不垂直，则直线l和平面α内的所有直线都不垂直；

④如果直线l与平面α不垂直，则平面α内也可以有无数条直线与直线l垂直．

A．1个B．2个C．3个D．4个

变式2：

已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是（　　）

①α内的直线必垂直于β内的无数条直线；

②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；

③α内的任何一条直线必垂直于β；

④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α.A．4　　　 B．3　　　C．2　　　 D．1

题型二：

求角问题（线面角、面面角）

例1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

（1）求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值．

（2）求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．

如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5且它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°

，求MC与平面ABC所成角的正弦值．

例2、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面角是（　　）

A．∠ABCB．∠ABB1C．∠ABA1D．∠ABC1

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，

PA⊥平面ABCD，且PA＝，AB＝1，BC＝2，AC＝，

求二面角P－CD－B的大小．

题型三：

证明问题

例1、如图，在三棱锥A-BCD中，AD，BC，CD两两互相垂直，M，N

分别为AB，AC的中点．

（1）求证：

BC∥平面MND；

（2）求证：

平面MND⊥平面ACD.

C

D

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2，,侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.

（1）证明：

侧面PAB⊥侧面PBC；

（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.

三、巩固练习

1．在三棱锥V­

ABC中，VA＝VC，AB＝BC，则下列结论一定成立的是（　　）

A．VA⊥BCB．AB⊥VC

C．VB⊥ACD．VA⊥VB

2．若A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，P∈l，则（　　）

A．P⊂αB．PαC．lαD．P∈α

3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（　　）

A．异面B．相交C．平行D．不能确定

4．如图，在长方体ABCD­

A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（　　）

A.B.C.D.

5．设x，y，z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：

①x，y，z均为直线；

②x，y是直线，z是平面；

③z是直线，x，y是平面；

④x，y，z均为平面．其中使“x⊥z，且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是（　　）

A．③④B．①③C．②③D．①②

6．如图，正方体ABCD­

A1B1C1D1中，异面直线BD1与A1D所成的角等于__________．

7如图，已知正方体ABCD­

A1B1C1D1，则二面角C1­

BD­

C的正切值为________．

8.如图，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，

AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图所示的三棱锥A­

BCF，其中BC＝.

（1）证明：

DE∥平面BCF；

（2）证明：

CF⊥平面ABF；

（3）当AD＝时，求三棱锥F­

DEG的体积VF­

DEG.

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