选修2-1第三章3.1.3空间向量的数量积运算学案及作业Word文档下载推荐.doc

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3．向量的数量积：

已知向量，则叫做的数量积，记作，即．

说明：

⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·

a＝０；

⑵符号“·

”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×

”代替.

几何意义：

已知向量＝a和轴l，e是l上和l同方向的单位向量．作点A在l上的射影A′，点B在l上的射影B′，则叫做向量在轴l上或在e方向上的正射影，简称射影．可以证明：

＝｜｜cos＜a,e＞＝a·

e．说明：

一个向量在轴上的投影的概念，就是a·

e的几何意义．

4．空间向量数量积的性质：

根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：

　⑴a·

e＝｜a｜·

cos＜a,e＞；

　⑵a⊥ba·

b＝０

　⑶当a与b同向时，a·

b＝｜a｜·

｜b｜；

　当a与b反向时，a·

b＝－｜a｜·

｜b｜.

　　特别地，a·

a＝｜a｜2或｜a｜＝.

　⑷cos＜a,b＞＝;

　⑸｜a·

b｜≤｜a｜·

5．空间向量数量积的运算律：

与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：

⑴（λa）·

b＝λ（a·

b）＝a·

（λb）（数乘结合律）；

　⑵a·

b＝b·

a（交换律）；

　⑶a·

（b＋c）＝a·

b＋a·

c（分配律）

⑴（a·

b）c≠a（b·

с）；

⑵有如下常用性质：

a2＝｜a｜2，（a＋b）2＝a2＋２a·

b＋b2

三、讲解范例：

例1．已知向量，向量与的夹角都是，且，

试求：

（1）；

（2）；

（3）．

例2.

（1）.设，，且，求向量的模.

（2）．已知，，，，问实数取何值时与垂直.

（3）．若，且，求的值.

例3.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积．

（3）；

（4）

空间向量的数量积运算

（2）

掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.

4．空间数量积的性质

5．空间向量数量积的运算律

例1．用向量方法证明：

直线和平面垂直的判定定理.

已知：

是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且

求证：

．

例2：

已知空间四边形中，，，求证：

例3.已知是边长为的正三角形所在平面外一点，且，分别是，的中点，求异面直线与所成角的余弦值.

点评：

设出空间的一个基底后，求数量积的时候目标就更加明确了，只要将与都化为用基向量表示就可以了.本题中与的夹角是异面直线与所成角的补角.

例4.已知线段AB、BD在平面内，BDAB，线段AC，如果AB=a,BD=b,AC=c,求C、D间的距离.

四、小结：

利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题.

空间向量的数量积作业

（1）

（一）选择题

1．若，且，则与的夹角为（）

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

2．已知，则（）

A．22 B．48 C． D．32

3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3．则（）

A．1 B．3

C．0 D．－3

4．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则△BCD是（）

A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定

5．设a，b，c是任意的非零向量，且它们互相不共线，则下列命题：

①（a·

b）·

c－（c·

a）·

b＝0；

②|a|－|b|<

|a－b|；

③（a·

b不与c垂直；

④（3a＋2b）·

（3a－2b）＝9|a|2－4|b|2.

其中正确的有（　　）

A．①②　　　　　B．②③C．③④D．②④

6．若向量a、b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则c·

a＝0且b·

c＝0是l⊥α的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

7．在棱长为1的正方体ABCD­

A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则a·

（b＋c）的值为（　　）

A．1 B．0

C．－1 D．－2

8．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为135°

的是（　　）

A.与

B.与

C.与

D.与

9．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为（　　）

B．45°

C．60°

D．以上都不对

10．（2011年太原模拟）设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知（＋－2）·

（－）＝0，则△ABC是（　　）

A．直角三角形B．等腰三角形

C．等腰直角三角形D．等边三角形

（二）填空题

11．已知，则与的夹角为______．

12．下列命题中：

（1）则＝0或＝0；

（2）；

（4）若与均不为，则它们必垂直．其中真命题的序号是______．

13．已知i、j、k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·

b等于________．

14．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°

，m⊥n，则λ＝________.

15．已知a，b，c两两夹角都是60°

，其模都是1，则|a－b＋2c|＝________.

三、解答题

16．已知正四面体OABC的棱长为1.求：

（1）·

；

（2）（＋）·

（＋）；

（3）|＋＋|.

空间向量的数量积作业

（2）

1．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是（　　）

D．90°

2．在空间四边形ABCD中，·

＋·

＝________.

3．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角是60°

，则对角线AC1的长是______．

4．在棱长为1的正方体中，分别是中点，

在棱上，，为的中点，

（1）求证：

（2）求所成角的余弦；

（3）求的长.

5.如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值.

6.如图所示，在▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°

，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长．

7．如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°

（1）求AC1的长；

（2）证明：

AC1⊥BD；

（3）求直线BD1与AC所成角的余弦值．

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