计数原理综合习题(有答案)Word文档下载推荐.doc
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A.120种B.240种C.48种D.24种
8.(+)100的展开式中,无理项的个数是( )
A.83B.84C.85 D.86
9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72B.120C.144 D.168
10.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )
A.144B.120C.72D.24
11.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( )
A.45B.60C.120D.210
12.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=( )
A.5B.6C.7 D.8
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.某学校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有________种(用数字作答).
14.(+a)6的展开式中含x2项的系数为60,则实数a=________.
15.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________种(用数字作答).
16.设a≠0,n是大于1的自然数,n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=________.
三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分)
17.(10分)4位学生与2位教师坐在一起合影留念,根据下列条件,求各有多少种不同的坐法:
(1)教师必须坐在中间;
(2)教师不能坐在两端,但要坐在一起;
(3)教师不能坐在两端,且不能相邻.
18.(12分)从1到100的自然数中,每次取出不同的两个数,使它的和大于100,则不同的取法有多少种?
19.(12分)已知n,i是虚数单位,x>
0,n∈N+.
(1)如果展开式的倒数第三项的系数是-180,求n的值;
(2)对
(1)中的n,求展开式中的系数为正实数的项.
20.(12分)若n的展开式中含x的项为第6项,设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,求a1+a2+…+an的值.
21.(12分)已知(a2+1)n的展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的系数最大的项等于54,求a的值.
22.(12分)用0,1,2,3,4,5这六个数字:
(1)可组成多少个无重复数字的自然数?
(2)可组成多少个无重复数字的四位偶数?
(3)组成无重复数字的四位数中比4023大的数有多少?
答案
1.C 要完成“至少买一张IC电话卡”这件事,可分三类:
第一类是买1张IC卡;
第二类是买2张IC卡;
第三类是买3张IC卡.而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事.买1张IC卡有2种方法,买2张IC卡有3种方法,买3张IC卡有1种方法.不同的买法共有2+3+1=6(种).
2.C 由分步乘法计数原理,得N=30×
24=720(种).
3.B P=[1+(x+1)]5=(x+2)5,故选B.
4.A 由已知,得Tr+1=C5-r(-2y)r=C5-r·
(-2)rx5-ryr(0≤r≤5,r∈Z),令r=3,得T4=C2(-2)3x2y3=-20x2y3.故选A.
5.D 分两步:
第一步先从10个格子中选中5个格子,有C种方法;
第二步从每个格子中选一个球,不同的拿法有2×
2×
2=25(种).由分步乘法计数原理共有C·
25种不同的拿法.
6.B Tr+1=C(-1)rxr,则a2=C,an-5=(-1)n-5C,因为2a2+an-5=0,a2>
0,所以an-5=-C,所以2C=C且n为偶数,将各选项代入验证知n=8,故选B.
7.C 由题意知,甲的位置确定,而乙、丙的位置有2种排法,再排其他4人,有A种不同的排法,故不同的排法总数为A·
2=48(种).
8.B 先求展开式中的有理项.
∵Tr+1=C()100-r·
()r=C·
2·
3,
∴要使展开式中的项为有理项,r必为6的倍数.
又∵0≤r≤100,且r∈N,
∴r的取值为0,6,12,…,96,它构成了以0为首项,6为公差,96为末项的等差数列,设它有n项,则96=6(n-1).
∴n=17.
∵展开式中共有101项,其中有17项是有理项,
∴无理项有84项.
9.B 解决该问题分为两类:
第一类分两步,先排歌舞类A,然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空,故不同排法有A·
2A=72.第二类也分两步,先排歌舞类A,然后将剩余3个节目放入中间两空排法有CAA,故不同的排法有AAAC=48,故共有120种不同排法,故选B.
10.D 插空法.在已排好的三把椅子产生的4个空当中选出3个插入3人即可.故排法种数为A=24.故选D.
11.C 因为(1+x)6展开式的通项公式为Tr+1=Cxr,(1+y)4展开式的通项公式为Th+1=Cyh,所以(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为CCxryh.所以f(m,n)=CC.所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C+CC+CC+C=20+60+36+4=120.故选C.
12.B 由题意可知,a=C,b=C,
又因为13a=7b,所以13·
=7·
,
即=.解得m=6.故选B.
13.30
解析:
方法1:
可分以下两种情况:
(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有CC种不同的选法;
(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有CC种不同的选法.所以不同的选法共有CC+CC=18+12=30(种).
方法2:
C-C-C=30(种).
14.±
2
通项Tr+1=C()6-rar=arCx3-,
令3-=2,得r=2.
故a2C=60,解得a=±
2.
15.60
不同的获奖情况分为两种,一是一人获两张奖券一人获一张奖券,共有CA=36(种);
二是有三人各获得一张奖券,共有A=24(种).因此不同的获奖情况有36+24=60(种).
16.3
由题意得a1=·
C==3,所以n=3a;
a2=C==4,所以n2-n=8a2.
将n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,
即a2-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).
所以a=3.
17.解:
(1)分步完成:
教师先坐中间,有A种方法,学生再坐其余位置,有A种方法.
根据分步乘法计数原理,不同的坐法共有A·
A=48(种).
(2)将2名教师看作一个元素,问题变为5个元素排列的问题.
先将教师排好,有A·
A种方法,再排学生,有A种方法,故不同的坐法共有A·
A·
A=144(种).
(3)插空法:
先排学生,有A种方法,教师从4名学生之间的3个空位选2个进行排列,有A种方法,故不同的坐法共有A·
18.解:
若从1,2,3,…,97,98,99,100中取出1,有1+100>
100,有1种取法;
若取出2,有2+100>
100,2+99>
100,有2种取法;
取出3,有3种取法;
…;
若取出50,有50+51>
100,50+52>
100,…,50+100>
100,有50种取法;
所以取出数字1至50,共有不同的取法N1=1+2+3+…+50=1275(种).
若取出51,有51+52>
100,51+53>
100,…,51+100>
100,有49种取法;
若取出52,则有48种取法;
若取出99,只有1种取法.
所以取出数字51至100(N1中取过的不再取),有不同取法N2=49+48+…+2+1=1225(种).
故总的取法共有N=N1+N2=2500(种).
19.解:
(1)由已知,得C(2i)2=-180,即4C=180,
化简得n2-n-90=0,又n∈N+,解得n=10.
(2)10展开式的通项为
Tr+1=C(2i)10-rx-2r=C(2i)10-rx,
∵展开式中的系数为正实数,且r∈{0,1,2,…,10},
∴r的取值为10,6,2,
故所求的项为
T11=x-20,T7=3360x-10,T3=11520.
20.解:
T6=C(x2)n-55=-Cx2n-15,
令2n-15=1,则n=8,
令x=1,则a0+a1+…+an=(-2)8=256,
令x=0,则a0=1,
所以a1+a2+…+an=255.
21.解:
5的展开式的通项是
Tr+1=C5-rr=5-r·
C·
x,
令20-5r=0,解得r=4,
故常数项T5=C×
=16,
又(a2+1)n的展开式的各项系数之和等于2n,
由题意得2n=16,解得n=4,
由二项式系数的性质可知,(a2+1)4的展开式中系数最大的项是中间项,即第三项,
由Ca4=54,解得a=±
.
22.解:
(1)组成无重复数字的自然数共有CA+CA+CA+CA+CA+C=1631(个).
(2)无重复数字的四位偶数中个位数是0的有A=60(个),个位数是2或4的有2CA=96(个),所以无重复数字的四位偶数共有60+96=156(个).
(3)无重复数字的四位数中千位数字是5的共有A=60(个),千位数字是4的有A=60(个),其中不大于4023的有5个,故比4023大的数共有60+60-5=115(个).