职高数列知识点及例题(有答案)Word格式.docx
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三、前n项之和:
S=a+a+…+a
注求数列通项公式的一个重要方法:
例1、已知数列{100-3n},
(1)求a、a;
(2)此数列从第几项起开始为负项.
例2已知数列的前n项和,求数列的通项公式:
(1)=n+2n;
(2)=n-2n-1.
解:
(1)①当n≥2时,=-=(n+2n)-[(n-1)+2(n-1)]=2n+1;
②当n=1时,==1+2×
1=3;
③经检验,当n=1时,2n+1=2×
1+1=3,∴=2n+1为所求.
(2)①当n≥2时,=-=(n-2n-1)-[(n-1)+2(n-1)-1]=2n-3;
②当n=1时,==1-2×
1-1=-2;
③经检验,当n=1时,2n-3=2×
1-3=-1≠-2,∴=为所求.
注:
数列前项的和和通项是数列中两个重要的量,在运用它们的关系式时,一定要注意条件,求通项时一定要验证是否适合
例3当数列{100-2n}前n项之和最大时,求n的值.
分析:
前n项之和最大转化为.
等差数列
1.如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.即:
2.通项:
,推广:
.
3.求和:
.(关于n的没有常数项的二次函数).
4.中项:
若a、b、c等差数列,则b为a与c的等差中项:
2b=a+c
5.等差数列的判定方法
(1)定义法:
(2)中项法:
(3)通项法:
(4)前n项和法:
练习:
已知数列{a}满足:
a=2,a=a+3,求通项a.
例1在等差数列中,已知
解:
设首项为,公差为,
则
例2
(1)设{a}是递增等差数列,它的前3项之和为12,前3项之积为48,求这个数列的首项.
分析2:
三个数成等差数列可设这三个数为:
a-d,a,a+d
拓展:
(1)若n+m=2p,则an+am=2ap.
推广:
从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
如:
(下标成等差数列)
(2)等和性:
(3)组成公差为的等差数列.
(4)a=a+(n-m)d
例1
(1)已知a+a=20,求a.
(2)已知++++=450,求+及前9项和.
解由等差中项公式:
+=2,+=2
由条件++++=450,得:
5=450,∴+=2=180.
=810
等比数列
1.定义与定义式:
从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.
2.通项公式:
推广形式:
3.前n项和:
注:
应用前n项和公式时,一定要区分的两种不同情况,必要的时候要分类讨论.
4.等比中项:
如果在与之间插入一个数,使,,成等比数列,那么叫做与的等比中项.即().
5.等比数列的判定方法:
①定义法:
对于数列,若,则数列是等比数列.
②等比中项:
对于数列,若,则数列是等比数列.
例1等比数列中=2,=8,求通项公式;
例2在等比数列{an}中,S4=1,S8=3,则a17+a18+a19+a20.
解解方程组可得:
q4=2,,
解法2由,-,-,…成等比数列计算.
在等比数列中有如下性质:
(1)若n+m=2p,则aa=(a)。
从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。
(2)等积性:
().
(3)a=aq
例1在等比数列中,,,,
(1)求;
(2)若,求.
解
(1)
(2)
例2,,求.
设{an}的公比为q,由题意知
解得或∴或
数列综合运用
例1公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q.
解:
设等差数列的通项an=a1+(n-1)d(d≠0).
根据题意得a32=a2a6即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),
解得.所以
例2有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是,第二个数与第三个书的和是,求这四个数.
设这四个数为:
,则
解得:
或,所以所求的四个数为:
;
或.
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