简化解析几何运算技巧专题Word格式.doc
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设点P的坐标为（xP，yP），由抛物线的定义，知|PF|＝xP＋m，又|PA|2＝（xP＋m）2＋
y＝（xP＋m）2＋4mxP，则2＝＝≥＝（当且仅当xP＝m时取等号），所以≥，所以的最小值为．
答案：
技法二
设而不求，整体代换
对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用代点法求解．
[典例] 已知椭圆E：
＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，－1），则E的标准方程为（ ）
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[解析] 设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
①－②得＋＝0，
所以kAB＝＝－＝．
又kAB＝＝，所以＝．
又9＝c2＝a2－b2，
解得b2＝9，a2＝18，
所以椭圆E的方程为＋＝1．
本题设出A，B两点的坐标，却不需求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．
过点M（1,1）作斜率为－的直线与椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
∴＋＝0，
∴＝－·
．
∵＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴－＝－，∴a2＝2b2．
又∵b2＝a2－c2，
∴a2＝2（a2－c2），∴a2＝2c2，∴＝．
即椭圆C的离心率e＝．
技法三
巧用“根与系数的关系”，化繁为简
某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；
但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．
[典例] （2016·
全国甲卷）已知椭圆E：
＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k>
0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（1）当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
（2）当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．
[解] 设M（x1，y1），则由题意知y1>
0．
（1）当t＝4时，E的方程为＋＝1，A（－2,0）．
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为．
因此直线AM的方程为y＝x＋2．
将x＝y－2代入＋＝1，得7y2－12y＝0．
解得y＝0或y＝，所以y1＝．
因此△AMN的面积S△AMN＝2×
×
＝．
（2）由题意知t>
3，k>
0，A（－，0）．
将直线AM的方程y＝k（x＋）代入＋＝1，
得（3＋tk2）x2＋2·
tk2x＋t2k2－3t＝0．
由x1·
（－）＝，得x1＝，
故|AM|＝|x1＋|＝．
由题设，直线AN的方程为y＝－（x＋），
故同理可得|AN|＝．
由2|AM|＝|AN|，得＝，
即（k3－2）t＝3k（2k－1）．
当k＝时上式不成立，因此t＝．
t>
3等价于＝<
0，
即<
因此得或解得<
k<
2．
故k的取值范围是（，2）．
本例在第
（2）问中可应用根与系数的关系求出x1＝，这体现了整体思路．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．
（2016·
兰州实战考试）已知椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点P，左、右焦点分别为F1，F2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的内切圆半径为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．
解：
（1）由＝，得a＝2c，所以a2＝4c2，b2＝3c2，
将点P的坐标代入椭圆方程得c2＝1，
故所求椭圆方程为＋＝1．
（2）由
（1）可知F1（－1,0），设直线l的方程为x＝ty－1，
代入椭圆方程，整理得（4＋3t2）y2－6ty－9＝0，
显然判别式大于0恒成立，
设A（x1，y1），B（x2，y2），△AF2B的内切圆半径为r0，
则有y1＋y2＝，y1y2＝，r0＝，
所以S△AF2B＝S△AF1F2＋S△BF1F2＝|F1F2|·
|y1－y2|＝|F1F2|·
而S△AF2B＝|AB|r0＋|BF2|r0＋|AF2|r0
＝r0（|AB|＋|BF2|＋|AF2|）
＝r0（|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＋|AF2|）
＝r0·
4a
＝×
8×
＝，
所以＝，解得t2＝1，
因为所求圆与直线l相切，所以半径r＝＝，
所以所求圆的方程为（x－1）2＋y2＝2．
技法四
借“曲线系”，理清规律
利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵活运用曲线是解析几何中重要的解题方法和技巧之一．
[典例] 已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[解析] 由双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝x，可设双曲线的方程为x2－＝λ（λ＞0）．
因为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，
所以F（－6,0）是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，所以双曲线的方程为－＝1．
[答案] B
本题利用共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决．避免了复杂的判断、可能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍．
圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为（ ）
A．x2＋y2－x＋7y－32＝0 B．x2＋y2－x＋7y－16＝0
C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0 D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0
选A 设经过两圆的交点的圆的方程为
x2＋y2＋6x－4＋λ（x2＋y2＋6y－28）＝0，
即x2＋y2＋x＋y－＝0，
其圆心坐标为，
又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－＋－4＝0，
解得λ＝－7，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0．
技法五
巧引参数，方便运算
换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．
常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．
[典例] 设椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞．
[解] 法一：
依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为（x0，y0）．
由条件，得
消去y0并整理，得x＝．①
由|AP|＝|OA|，A（－a,0）及y0＝kx0，
得（x0＋a）2＋k2x＝a2，
整理得（1＋k2）x＋2ax0＝0．
而x0≠0，于是x0＝，
代入①，整理得（1＋k2）2＝4k22＋4．
又a＞b＞0，故（1＋k2）2＞4k2＋4，
即k2＋1＞4，因此k2＞3，所以|k|＞．
法二：
依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为（x0，kx0）．
由点P在椭圆上，得＋＝1．
因为a＞b＞0，kx0≠0，所以＋＜1，
即（1＋k2）x＜a2．②
由|AP|＝|OA|及A（－a,0），得（x0＋a）2＋k2x＝a2，
整理得（1＋k2）x＋2ax0＝0，于是x0＝，
代入②，得（1＋k2）·
＜a2，
解得k2＞3，所以|k|＞．
法三：
设P（acosθ，bsinθ）（0≤θ＜2π），
则线段OP的中点Q的坐标为．
|AP|＝|OA|⇔AQ⊥OP⇔kAQ×
k＝－1．
又A（－a,0），所以kAQ＝，
即bsinθ－akAQcosθ＝2akAQ．
从而可得|2akAQ|≤＜a，
解得|kAQ|＜．故|k|＝＞．
求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量．
长春市质量检测）椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连接A1A，A1B并延长分别交直线x＝4于R，Q两点，问·
是否为定值？
若是，求出此定值；
若不是，请说明理由．
（1）已知椭圆的离心率为，不妨设c＝t，a＝2t，
则b＝t，其中t＞0，
当△F1PF2面积取最大值时，点P为短轴端点，
因此·
2t·
t＝，解得t＝1，
则椭圆的方程为＋＝1．
（2）由
（1）可知F2（1,0），A1（－2,0）．设直线AB的方程为x＝my＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立可得（3m2＋4）y2＋6my－9＝0，
则y1＋y2＝，①
y1y2＝，②
直线AA1的方程为y＝（x＋2），
直线BA1的方程为y＝（x＋2），
则R，Q，
＝，＝，
则·
＝9＋·
＝·
＋9＝＋9
将①②两式代入上式，整理得·
＝0，
即·
为定值0．
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