空间向量运算的坐标表示练习题Word格式.doc
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【解析】 ∵AB的中点M,∴=,故|CM|=||==.
【答案】 C
3.(2014·
德州高二检测)已知向量a=(2,3),b=(k,1),若a+2b与a-b平行,则k的值是( )
A.-6B.-C.D.14
【解析】 由题意得a+2b=(2+2k,5),且a-b=(2-k,2),又因为a+2b和a-b平行,则2(2+2k)-5(2-k)=0,解得k=.
4.(2014·
河南省开封高中月考)如图3
1
32,在长方体ABCD
A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=,E,F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心,则E,F两点间的距离为( )
图3
32
A.1B.C.D.
【解析】 以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(1,1,),F,所以|EF|==,故选C.
二、填空题
5.(2014·
青岛高二检测)已知点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),O(0,0,0),点Q在直线OP上运动,当·
取得最小值时,点Q的坐标为________.
【解析】 设=λ=(λ,λ,2λ),故Q(λ,λ,2λ),故=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ).则·
=6λ2-16λ+10=62-,当·
取最小值时,λ=,此时Q点的坐标为.
【答案】
6.若=(-4,6,-1),=(4,3,-2),|a|=1,且a⊥,a⊥,则a=________.
【解析】 设a=(x,y,z),由题意有代入坐标可解得:
或
【答案】 或
7.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线,则m+n=________.
【解析】 因为=(m-1,1,m-2n-3),=(2,-2,6),由题意得∥,则==,所以m=0,n=0,m+n=0.
【答案】 0
三、解答题
8.已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).
(1)求|2a+b|;
(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得⊥b?
(O为原点)
【解】
(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),
故|2a+b|==5.
(2)=+=+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),
若⊥b,则·
b=0,
所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,
因此存在点E,使得⊥b,E点坐标为.
9.在正方体ABCD
A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,O是正方形ABCD的中心.
求证:
⊥.
【证明】 建立空间直角坐标系,如图所示,设正方形的棱长为1个单位,则A(1,0,0),A1(1,0,1),M,O.
∴=,=.
∵·
=×
(-1)+×
0+1×
=0,
∴⊥.
1.已知向量a=(-2,x,2),b=(2,1,2),c=(4,-2,1),若a⊥(b-c),则x的值为( )
A.-2B.2C.3D.-3
【解析】 ∵b-c=(-2,3,1),a·
(b-c)=4+3x+2=0,∴x=-2.
2.已知a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),则向量a+b与a-b的夹角是( )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
【解析】 a+b=(cosα+sinα,2,sinα+cosα),a-b=(cosα-sinα,0,sinα-cosα),∴(a+b)·
(a-b)=0,
∴(a+b)⊥(a-b).
玉溪高二检测)设动点P在棱长为1的正方体ABCD
A1B1C1D1的对角线BD1上,记=λ.当∠APC为钝角时,则λ的取值范围是________.
【解析】 由题设可知,以、、为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),则=(1,1,-1),得
=λ=(λ,λ,-λ),所以
=+=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ,-λ,λ-1),
=+=(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1).
显然∠APC不是平角,所以∠APC为钝角等价于·
<0,即-λ(1-λ)-λ(1-λ)+(λ-1)2<0,即(λ-1)(3λ-1)<0,解得<λ<1,因此λ的取值范围是.
4.在正三棱柱ABC
A1B1C1中,平面ABC和平面A1B1C1为正三角形,所有的棱长都是2,M是BC边的中点,则在棱CC1上是否存在点N,使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°
?
33
【解】以A点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知A(0,0,0),C(0,2,0),B(,1,0),B1(,1,2),M.
又点N在CC1上,可设N(0,2,m)(0≤m≤2),
则=(,1,2),=,
所以||=2,||=,·
=2m-1.
如果异面直线AB1和MN所夹的角等于45°
,那么向量和的夹角等于45°
或135°
.
又cos〈,〉==.
所以=±
,解得m=-,这与0≤m≤2矛盾.
所以在CC1上不存在点N,使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°