直线与圆相切、弦长问题(学生)Word格式文档下载.doc
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0),
d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
几何法
代数法
相交
d<
r
Δ>
相切
d=r
Δ=0
相离
d>
Δ<
[难点正本 疑点清源]
1.直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合,“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的.
2.计算直线被圆截得的弦长的常用方法
几何方法:
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.
1..若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点,则实数k的取值范围为__________.
2.从圆x2-2x+y2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为________.
3.(2015·
重庆)过原点的直线与圆x2+y2-2x-4y+4=0相交所得弦的长为2,则该直线的方程为____________
题型一 直线与圆的位置关系
例1 已知直线l:
y=kx+1,圆C:
(x-1)2+(y+1)2=12.
(1)试证明:
不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点;
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长.
(2015·
安徽改编)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是__________.
题型二 圆的切线问题
例2 已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)求过M点的圆的切线方程;
(2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值;
(3)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为2,求a的值.
探究提高 求过一点的圆的切线方程,首先要判断此点是否在圆上.若在圆上,该点为切点;
若不在圆上,切线应该有两条,设切线的点斜式方程,用待定系数法求解.注意,需考虑无斜率的情况.求弦长问题,要充分运用圆的几何性质.
已知点A(1,a),圆x2+y2=4.(a>
0)若过点A的圆的切线只有一条,
求a的值及切线方程;
方法与技巧
1.过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k,由垂直关系知切线斜率为-,由点斜式方程可求切线方程.若切线斜率不存在,则由图形写出切线方程x=x0.
2.过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法
(1)几何方法:
当斜率存在时,设为k,切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0.由圆心到直线的距离等于半径,即可得出切线方程.
(2)代数方法:
设切线方程为y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圆方程,得一个关于x的一元二次方程,由Δ=0,求得k,切线方程即可求出.
3.圆的弦长的求法
(1)几何法:
设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,则2=r2-d2.
(2)代数法:
设直线与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,两点间距离公式。
失误与防范
1.求圆的弦长问题,注意应用圆的性质解题,即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质,可以用勾股定理或斜率之积为-1列方程来简化运算.
2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条;
过圆外一点作圆的切线有且只有两条,若仅求得一条,除了考虑运算过程是否正确外,还要考虑斜率不存在的情况,以防漏解.
基础训练
1.若过点A(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线,则实数a的取值范围为______________.
2.若直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切,则a=___________.
3.设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是____________.
4.过原点且倾斜角为60°
的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为________.
5.设直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A、B两点,且弦AB的长为2,则a=________.
6.直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若MN≥2,则k的取值范围是______________.