直接证明与间接证明文档格式.doc以及数学归纳法学生版文档格式.doc
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反证法:
假设原命题__________(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出________,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.
自我检测
1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2.用反证法证明“如果a>
b,那么>
”的假设内容应是( )
A.= B.<
C.=且<
D.=或<
3.设a、b、c是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是( )
A.|a-c|≤|a-b|+|c-b|
B.a2+≥a+
C.-<
-
D.|a-b|+≥2
4.在集合{a,b,c,d}上定义两种运算⊕和⊗如下:
那么d⊗(a⊕c)等于( )
A.a B.b C.c D.d
5.设x、y、z∈R+,a=x+,b=y+,c=z+,则a、b、c三数( )
A.至少有一个不大于2 B.都小于2
C.至少有一个不小于2 D.都大于2
探究点一 综合法
例1 已知a,b,c都是实数,求证:
a2+b2+c2≥(a+b+c)2≥ab+bc+ca.
变式迁移1 设a,b,c>
0,证明:
++≥a+b+c.
探究点二 分析法
例2 若a,b,c是不全相等的正数,求证:
lg+lg+lg>
lga+lgb+lgc.
变式迁移2 已知a>
0,求证:
-≥a+-2.
探究点三 反证法
例3 若x,y都是正实数,且x+y>
2,
求证:
<
2与<
2中至少有一个成立.
变式迁移3 若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证:
a,b,c中至少有一个大于0.
1.综合法是从条件推导到结论的思维方法,它是从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证的结论.即由因导果.
2.分析法是从待证结论出发,一步一步地寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.即执果索因,用分析法寻找解题思路,再用综合法书写,这样比较有条理,叫分析综合法.
3.用反证法证明问题的一般步骤:
(1)反设:
假定所要证的结论不成立,即结论的反面(否定命题)成立;
(否定结论)
(2)归谬:
将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;
(推导矛盾)
(3)结论:
因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.(结论成立)
数学归纳法
1.归纳法
由一系列有限的特殊事例得出________的推理方法叫归纳法.根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为____归纳法和________归纳法.
2.数学归纳法
设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合,如果:
(1)证明起始命题________(或________)成立;
(2)在假设______成立的前提下,推出________也成立,那么可以断定{Pn}对一切正整数成立.
3.数学归纳法证题的步骤
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值__________时命题成立.
(2)(归纳递推)假设______________________________时命题成立,证明当________时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
1.用数学归纳法证明:
“1+a+a2+…+an+1=(a≠1)”在验证n=1时,左端计算所得的项为( )
A.1 B.1+a
C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
2.如果命题P(n)对于n=k(k∈N*)时成立,则它对n=k+2也成立,又若P(n)对于n=2时成立,则下列结论正确的是( )
A.P(n)对所有正整数n成立
B.P(n)对所有正偶数n成立
C.P(n)对所有正奇数n成立
D.P(n)对所有大于1的正整数n成立
3.证明<
1++++…+<
n+1(n>
1),当n=2时,中间式子等于( )
A.1 B.1+
C.1++ D.1+++
4.用数学归纳法证明“2n>
n2+1对于n>
n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取( )
A.2 B.3 C.5 D.6
5.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开( )
A.(k+3)3 B.(k+2)3
C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3
探究点一 用数学归纳法证明等式
例1 对于n∈N*,用数学归纳法证明:
1·
n+2·
(n-1)+3·
(n-2)+…+(n-1)·
2+n·
1=n(n+1)(n+2).
变式迁移1 用数学归纳法证明:
对任意的n∈N*,1-+-+…+-=++…+.
探究点二 用数学归纳法证明不等式
例2 用数学归纳法证明:
对一切大于1的自然数,不等式…>
均成立.
变式迁移2 已知m为正整数,用数学归纳法证明:
当x>
-1时,(1+x)m≥1+mx.
【突破思维障碍】
1.归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一,此类问题可分为归纳性问题和存在性问题,本例中归纳性问题需要从特殊情况入手,通过观察、分析、归纳、猜想,探索出一般规律.
2.数列是定义在N*上的函数,这与数学归纳法运用的范围是一致的,并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的,数列中有不少问题常用数学归纳法解决.
【易错点剖析】
1.严格按照数学归纳法的三个步骤书写,特别是对初始值的验证不可省略,有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证;
初始值的验证是归纳假设的基础.
2.在进行n=k+1命题证明时,一定要用n=k时的命题,没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法.
1.数学归纳法:
先证明当n取第一个值n0时命题成立,然后假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立,并证明当n=k+1时命题也成立,那么就证明了这个命题成立.这是因为第一步首先证明了n取第一个值n0时,命题成立,这样假设就有了存在的基础,至少k=n0时命题成立,由假设合理推证出n=k+1时命题也成立,这实质上是证明了一种循环,如验证了n0=1成立,又证明了n=k+1也成立,这就一定有n=2成立,n=2成立,则n=3成立,n=3成立,则n=4也成立,如此反复以至无穷,对所有n≥n0的整数就都成立了.
2.
(1)第①步验证n=n0使命题成立时n0不一定是1,是使命题成立的最小正整数.
(2)第②步证明n=k+1时命题也成立的过程中一定要用到归纳递推,否则就不是数学归纳法.
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