理科数学全国卷1Word格式.doc
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C． D．
7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）21·
cn·
jy·
com
A． B． C． D．2
8．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则（）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（）
11．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（）
【来源：
21·
世纪·
教育·
网】
A． B．3 C． D．4
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）21·
世纪*教育网
A． B． C． D．
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若满足约束条件，则的最大值为________．
14．记为数列的前项和．若，则________．
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）www-2-1-cnjy-com
16．已知函数，则的最小值是________．
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
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（一）必考题：
共60分。
17．（12分）在平面四边形中，，，，．
（1）求；
（2）若，求．
18．（12分）如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．21*cnjy*com
（1）证明：
平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
19．（12分）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：
．
20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．www.21-cn-
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点；
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，证明：
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．【来源：
21cnj*y.co*m】
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．
23．[选修4—5：
不等式选讲]（10分）
已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时不等式成立，求的取值范围．
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学答案解析
编辑整理：
潮阳区谷饶中学张泽锋
一、选择题。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
D
二、填空题。
13． 14． 15． 16．
1、C解析：
2、B解析：
3、A解析：
设建设前经济收入为，则建设后经济收入为.
对于A项：
种植收入原来为，后来为，增加，故A错误；
对于B项：
其他收入原来为，后来为，增加的倍数为，故B正确；
对于C项：
养殖收入原来为，后来为，增加的倍数为，故C正确；
对于D项：
新农村建设后，养殖收入为，第三产业收入为，而经济收入的一半为，则，故D正确.
4、B解析：
设等差数列的公差为.
则.
5、D解析：
为奇函数
恒成立，则
在点处的切线斜率为，则所求切线方程为，即.
6、A解析：
.
7、B解析：
将此圆柱的四分之一侧面展开如右图所示：
则最短路径为
8、D解析：
由已知，得，直线为
则
9、C解析：
存在2个零点
方程有两个根
函数与函数的图象有两个不同交点
如右图所示，则只需即可
，即的取值范围是.
10、A解析：
此题属于几何概型，总区域面积相同，故只要求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积进行比较即可。
设，则
则，
，故.
11、B解析：
由已知，得，
则，渐近线的方程为
则，由于双曲线的对称性，不妨设
法一：
在中，，
在中，，则
法二：
直线的倾斜角为，其斜率为
故直线的方程为
12、A解析：
如下图所示，平面与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等，则.
构造，设
则，，
当时，.
13、6解析：
画出可行域如右图所示：
将变形为，最大，即截距最大.
则当直线平移经过点时，截距最大.
14、-63解析：
当时，
，得，即
数列是首项为-1，公比为2的等比数列
15、16解析：
法一（直接法）：
分成两类：
1女2男、2女1男
则不同的选法共有（种）.
法二（间接法）：
“至少有1位女生入选”的对立事件为“没有一位女生入选”
16、解析：
易知的最小正周期为，则问题转化求在的最小值.
令，则
令，得
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
当时，取得最小值，此时
又，
令
当且仅当，即时等号成立.
17、解：
（1）在中，由正弦定理，得
又，故为锐角.
（2）由
（1）知，
在中，由余弦定理，得
又.
18、解：
四边形为正方形
分别为的中点
，即
又
又
（2）法一（几何法）：
如图，过点作于点，连接.
由
（1）知，
且，
为直线与平面所成角的平面角
又
不妨设正方形的边长为2，则
，
在中，
直线与平面所成角的正弦值为.
法二（坐标法）：
过点作于点
如图，以为原点建立空间直角坐标系.
，则
显然平面的一个法向量为
设直线与平面所成角为
19、解：
（1）由已知，得
则，直线的方程为.
将代入，得，则
直线的方程为或
即或.
（2）①当与轴重合时，；
②当与轴垂直时，为的垂直平分线，则；
③当与轴既不重合也不垂直时，设，
由消去，得
设，，则，.
直线与直线的倾斜角互补，则.
综上所述，.
20、解：
（1）设不合格品的件数为,则，其中.
（）
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
当时，取得最大值，即的最大值点.
（2）（i）由
（1）知，
设余下的180件产品中的不合格品件数为，则
，且
（ii）如果对整箱产品进行检查，则检验费用与赔偿费用的和为
应该对这箱余下的所有产品作检验.
21、解：
（1）由已知，得
令，
①当，即时，，则函数在上单调递增.
②当，即时，令，
（i）当时，则
当时，，则函数在上单调递增.
（ii）当时，则
当时，，则，单调递减；
当时，，则，单调递增.
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递减，在上单调递增.
（2）法一：
由
（1）知，存在两个极值点当且仅当
的两个极值点，满足
，不妨设，则
由
（1）知，在上单调递减
，即
原命题得证，即.
在上单调递减，则.
原命题得证，即.
22、解：
（1）
将代入上式，得
的直角坐标方程为，即.
（2）由
（1）知，是圆心为，半径为的圆.
是过点且关于轴对称的两条射线.
记轴右边的射线为，轴左边的射线为.
由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点.
①当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或.
经检验，当时，与没有公共点；
当时，与只有一个公共点，与有两个公共点.
③当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或.
当时，与没有公共点.
综上所述，的方程为.
23、解：
（1）当时，可化为：
综上所述，不等式的解集为.
对任意恒成立，即
又当时，
，即的取值范围为.
①当时，，不符合题意；
②当时，
综上所述，的取值范围为.
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