球的切接问题专题Word下载.doc
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图2
图3
图4
4.正四面体的外接球和内切球
如图4所示,设点是内切球的球心,正四面体棱长为.由图形的对称性知,点也是外接球的球心.设内切球半径为,外接球半径为.
正四面体的表面积.
小结:
正四面体内切球半径是高的,外接球半径是高的
5.长方体的外接球:
即正方体的各顶点都在球面上。
设长方体的棱长分别为a,b,c。
怎么作平面截图来反映半径和边长的关系?
2R
联想正方体的外接球,过长方体的对角面的作截截面图
a
(4)
结论:
由图形(4)我们可以发现外接球的半径
二、题型与方法归类
例1、
(1)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为________.
本题主要考查简单的组合体和球的表面积.画出球的轴截面可得,球的直径是正方体的对角线,所以有球的半径R=,则该球的表面积为S=4πR2=27π.故填27π
(2)求棱长为1的正四面体外接球的体积.
R=,
∴V球=πR3=π()3=π.
变式练习:
1已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积( )
A.16π B.20πC.24π D.32π
2已知正方体外接球的体积是π,那么正方体的棱长等于( )
A.2B.C.D.
3.半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为________,体积为________.
例2、已知A、B、C、D是球O面上的四个点,OA、OB、OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,求球的体积与表面积。
球的表面积S=
变式训练:
如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AC=,则三棱锥P-ABC的外接球的体积为
A.B.C.D.
例3..已知一个三棱锥的三视图如图2所示,
其中俯视图是顶角为的等腰三角形,
则该三棱锥的外接球体积为.
球体积为.
高考题演练
1.一个四面体各棱长都为,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为()
A.3π
B.4π
C.
D
6π
2.正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的侧面是正方形,若底面的边长为a,则该正六棱柱的外接球的表面积是()A.
4πa2
B.5πa2
C.8πa2
D.10πa2
3.长方体三条棱长分别是AA′=1,AB=2,AD=4,则从A点出发,沿长方体的表面到C′的最短矩离是()
A.5
B.
7
C.
D.
4.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为(
)
5.如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°
,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为( )
A.B.C.D.
6.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB=6,BC=2,则棱锥O﹣ABCD的体积为
.
7.一个正方体的顶点都在一个球面上,已知这个球的表面积为3π,则正方体的棱长
8.一个正方体的全面积为a2,它的顶点全都在一个球面上,则这个球的表面积为
9.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是
10.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为
答案:
1.解答:
由于正四面体扩展为正方体,二者有相同的外接球,所以正方体的棱长为:
1,所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径,所以球的半径为:
.
所以球的表面积为:
4πR2==3π.
2.解答:
正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的侧面是正方形,若底面的边长为a,
底面对角线的长度为:
2a;
所以该正六棱柱的外接球的半径为:
=.
所以该正六棱柱的外接球的表面积是:
4πr2==5πa2.
3.解答:
从A点出发,沿长方体的表面到C′有3条不同的途径,
分别从与顶点A相邻的三个面出发,根据勾股定理得到长度分别是,,5,
比较三条路径的长度,得到最短的距离是5
4.D
5.解:
易证所得三棱锥为正四面体,它的棱长为1,故外接球半径为,外接球的体积为
6.解答:
矩形的对角线的长为:
,所以球心到矩形的距离为:
=2,
所以棱锥O﹣ABCD的体积为:
=8.
故答案为:
8
7.解答:
∵球的表面积为3π,∴球的半径为
∵正方体的顶点都在一个球面上,∴正方体的对角线为球的直径
设正方体的棱长为a,则∴a=1
8.解答:
设球的半径为R,则正方体的对角线长为2R,[来源:
学+科+网]
依题意知R2=a2,即R2=a2,
∴S球=4πR2=4π•a2=.故答案为:
9.解答:
长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上,所以长方体的对角线就是球的直径,长方体的对角线为:
,
所以球的半径为:
;
则这个球的表面积是:
=50π.
10.解答:
根据几何意义得出:
边长为8的正方形,球的截面圆为正方形的内切圆,
∴圆的半径为:
4,
∵球面恰好接触水面时测得水深为6cm,
∴d=8﹣6=2,∴球的半径为:
R=,R=5
∴球的体积为π×
(5)3=πcm3故答案为.