法向量解立体几何专题训练Word文档下载推荐.doc
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三、证明线面、面面的平行、垂直关系
设平面外的直线a和平面α、β,两个面α、β的法向量为,则
四、应用举例:
例1:
如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB=FB=1.
(1)求二面角C—DE—C1的正切值;
(2)求直线EC1与FD1所成的余弦值.
解:
(I)以A为原点,分别为x轴,y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系,
则D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)
于是,
设法向量与平面C1DE垂直,则有
(II)设EC1与FD1所成角为β,则
例2:
(高考辽宁卷17)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是菱形,∠DAB=600,PD⊥平面ABCD,PD=AD,点E为AB中点,点F为PD中点。
(1)证明平面PED⊥平面PAB;
(2)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值
证明:
(1)∵面ABCD是菱形,∠DAB=600,
∴△ABD是等边三角形,又E是AB中点,连结BD
∴∠EDB=300,∠BDC=600,∴∠EDC=900,
如图建立坐标系D-ECP,设AD=AB=1,则PF=FD=,ED=,
∴P(0,0,1),E(,0,0),B(,,0)
∴=(,,-1),=(,0,-1),
平面PED的一个法向量为=(0,1,0),设平面PAB的法向量为=(x,y,1)
由
∴=(,0,1)∵·
=0即⊥∴平面PED⊥平面PAB
(2)解:
由
(1)知:
平面PAB的法向量为=(,0,1),设平面FAB的法向量为1=(x,y,-1),
F(0,0,),=(,,-),=(,0,-),
由
∴1=(-,0,-1)
∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值cosθ=|cos<
1>
|=
例3:
在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP.
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示);
(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证:
D1H⊥AP;
(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.
解:
(Ⅰ)如图建立坐标系D-ACD1,∵棱长为4∴A(4,0,0),B(4,4,0),P(0,4,1)
∴=(-4,4,1),显然=(0,4,0)为平面BCC1B1的一个法向量,
∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ的正弦值sinθ=|cos<
|=
∵θ为锐角,∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ为arcsin
(Ⅲ)设平面ABD1的法向量为=(x,y,1),
∵=(0,4,0),=(-4,0,4)
由⊥,⊥得∴=(1,0,1),
∴点P到平面ABD1的距离d=
例4:
在长、宽、高分别为2,2,3的长方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面中心,求A1O与B1C的距离。
如图,建立坐标系D-ACD1,则O(1,1,0),A1(2,2,3),C(0,2,0)
∴
设A1O与B1C的公共法向量为,则
∴
∴A1O与B1C的距离为
d=
例5:
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是B1C1、C1D1的中点,求A1到面BDFE的距离。
如图,建立坐标系D-ACD1,则B(1,1,0),A1(1,0,1),E(,1,1)
设面BDFE的法向量为,则
∴
∴A1到面BDFE的距离为d=
新课标高二数学空间向量与立体几何测试题1
一、选择题
1.在正三棱柱ABC—A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为()
图
A.60°
B.90°
C.105°
D.75°
2.如图,ABCD—A1B1C1D1是正方体,B1E1=D1F1=,则BE1与DF1所成角的余弦值是()
A. B.
C. D.
3.如图,A1B1C1—ABC是直三棱柱,∠BCA=90°
,点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点,若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是()
A. B.
4.正四棱锥的高,底边长,则异面直线和之间的距离()
A. B. C. D.
A
A1
D
C
B
B1
C1
5.已知是各条棱长均等于的正三棱柱,是侧棱的中点.点到平面的距离()
A.B.C.D.
6.在棱长为的正方体中,则平面与平面间的距离 ()
A. B. C. D.
7.在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=PA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC,则直线OD与平面PBC所成角的正弦值 ()
A. B. C. D.
8.在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,侧棱,D,E分别是与的中点,点E在平面ABD上的射影是的重心G.则与平面ABD所成角的余弦值 ()
A. B. C. D.
9.正三棱柱的底面边长为3,侧棱,D是CB延长线上一点,且,则二面角的大小()
A. B.C. D.
10.正四棱柱中,底面边长为,侧棱长为4,E,F分别为棱AB,CD的中点,.则三棱锥的体积V ()
二、填空题
11.在正方体中,为的中点,则异面直线和间的距离.
12.在棱长为的正方体中,、分别是、的中点,求点到截面的距离.
13.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是B1C1和C1D1的中点,点A1到平面DBEF的距离.
14.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中点,求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值.
三、解答题
15.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小
16.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点,求证:
平面A1EF∥平面B1MC.
17.在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°
,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD与底面成30°
角.
(1)若AE⊥PD,E为垂足,求证:
BE⊥PD;
(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值.
18.已知棱长为1的正方体AC1,E、F分别是B1C1、C1D的中点.
(1)求证:
E、F、D、B共面;
(2)求点A1到平面的BDEF的距离;
(3)求直线A1D与平面BDEF所成的角.
19.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E为棱AB的中点,求:
(Ⅰ)D1E与平面BC1D所成角的大小;
(Ⅱ)二面角D-BC1-C的大小;
(Ⅲ)异面直线B1D1与BC1之间的距离.
高二数学空间向量与立体几何专题训练2
1.向量a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),若a与b共线,则( )
A.x=1,y=1 B.x=,y=-
C.x=,y=- D.x=-,y=
2.已知a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且a·
b=2,则x的值是( )
A.6B.5C.4D.3
3.设l1的方向向量为a=(1,2,-2),l2的方向向量为b=(-2,3,m),若l1⊥l2,则实数m的值为( )
A.3B.2C.1D.
4.若a,b均为非零向量,则a·
b=|a||b|是a与b共线的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5.在△ABC中,=c,=b.若点D满足=2,则=( )
A.b+cB.c-bC.b-cD.b+c
6.已知a,b,c是空间的一个基底,设p=a+b,q=a-b,则下列向量中可以与p,q一起构成空间的另一个基底的是( )
A.aB.bC.cD.以上都不对
7.已知△ABC的三个顶点A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),则BC边上的中线长为( )
A.2B.3C.D.
8.与向量a=(2,3,6)共线的单位向量是( )
A.(,,)B.(-,-,-)
C.(,-,-)和(-,,)D.(,,)和(-,-,-)
9.已知向量a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6且a⊥b,则x+y为( )
A.-3或1B.3或-1C.-3D.1
10.已知a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),且a与b的夹角为钝角,则实数x的取值范围是( )
A.x>
4B.x<
-4C.0<
x<
4D.-4<
0.
11.已知空间四个点A(1,1,1),B(-4,0,2),C(-3,-1,0),D(-1,0,4),则直线AD与平面ABC所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
12.已知二面角α-l-β的大小为50°
,P为空间中任意一点,则过点P且与平面α和平面β所成的角都是25°
的直线的条数为( )
A.2B.3C.4D.5
13.已知{i,j,k}为单位正交基底,且a=-i+j+3k,b=2i-3j-2k,则向量a+b与向量a-2b的坐标分别是________;
________.
14.在△ABC中,已知=(2,4,0),=(-1,3,0),则∠ABC=________.
15.正方体ABCD-A1B1C1D1中,面ABD1与面B1BD1所夹角的大小为________.
16.在下列命题中:
①若a,b共线,则a,b所在的直线平行;
②若a,b所在的直线是