步步高26：离散型随机变量的均值与方差文档格式.doc

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（1）若X服从两点分布，则E（X）＝__p__，D（X）＝p（1－p）．

（2）若X～B（n，p），则E（X）＝__np__，D（X）＝np（1－p）．

[难点正本　疑点清源]

1．对均值（或数学期望）的理解

（1）期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．

（2）E（X）是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E（X）是不变的，它描述X值取值的平均状态．

（3）公式E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了E（X）的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加．由此可知，求出随机变量的数学期望关键在于写出它的分布列．

2．方差的意义

D（X）表示随机变量X对E（X）的平均偏离程度，D（X）越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之D（X）越小，X的取值越集中，由方差定义知，方差是建立在期望这一概念之上的．在E（X）附近，统计中常用来描述X的分散程度．

1．若随机变量ξ的分布列如下表，则E（ξ）的值为________.

ξ

1

2

3

4

5

2x

3x

7x

x

答案　

解析　根据概率之和为1，求出x＝，

则E（ξ）＝0×

2x＋1×

3x＋…＋5x＝40x＝.

2．（2017·

浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X＝0）＝，则随机变量X的数学期望E（X）＝________.

解析　由题意知P（X＝0）＝（1－p）2＝，∴p＝.

随机变量X的分布列为

E（X）＝0×

＋1×

＋2×

＋3×

＝.

3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：

7

8

9

10

0.1

0.3

y

已知ξ的期望E（ξ）＝8.9，则y的值为 （　　）

A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.9

答案　A

解析　由

可得y＝0.4.

4．已知X的分布列为

－1

设Y＝2X＋3，则E（Y）的值为 （　　）

A. B．4 C．－1 D．1

解析　E（X）＝（－1）×

＋0×

＝－.

∴E（Y）＝2E（X）＋3＝2×

＋3＝.

5．设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，则 （　　）

A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4

C．n＝5，p＝0.32D．n＝7，p＝0.45

解析　∵X～B（n，p），∴E（X）＝np＝1.6，

D（X）＝np（1－p）＝1.28，∴

题型一　离散型随机变量的均值、方差

例1　（2012·

湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：

mm）对工期的影响如下表：

降水量X

X<

300

300≤X<

700

700≤X<

900

X≥900

工期延误天数Y

6

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：

（1）工期延误天数Y的均值与方差；

（2）在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率．

思维启迪：

先求出降水量在各范围内的概率，再求对应工期延误天数的概率，列出Y的分布列．

解　

（1）由已知条件和概率的加法公式有

P（X<

300）＝0.3，

P（300≤X<

700）＝P（X<

700）－P（X<

300）

＝0.7－0.3＝0.4，

P（700≤X<

900）＝P（X<

900）－P（X<

700）

＝0.9－0.7＝0.2，

P（X≥900）＝1－P（X<

900）＝1－0.9＝0.1.

所以Y的分布列为

Y

0.4

0.2

于是，E（Y）＝0×

0.3＋2×

0.4＋6×

0.2＋10×

0.1＝3；

D（Y）＝（0－3）2×

0.3＋（2－3）2×

0.4＋（6－3）2×

0.2＋（10－3）2×

0.1＝9.8.

故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.

（2）由概率的加法公式，

得P（X≥300）＝1－P（X<

300）＝0.7，

又P（300≤X<

＝0.9－0.3＝0.6.

由条件概率，

得P（Y≤6|X≥300）＝P（X<

900|X≥300）

＝＝＝.

故在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.

探究提高　

（1）求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．

（2）概率与统计的结合是高考的热点，熟练掌握基础知识，理解二者的联系是解题的关键．

　某中学在高三开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课．对于该年级的甲、乙、丙3名学生，回答下面的问题：

（1）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；

（2）某一选修课被这3名学生选修的人数的数学期望．

解　

（1）3名学生选择的选修课互不相同的概率：

p1＝＝；

（2）设某一选修课被这3名学生选择的人数为ξ，

则ξ＝0,1,2,3.P（ξ＝0）＝＝，

P（ξ＝1）＝＝，

P（ξ＝2）＝＝，

P（ξ＝3）＝＝.

所以ξ的分布列为

数学期望E（ξ）＝0×

题型二　二项分布的均值、方差

例2　某人投弹命中目标的概率p＝0.8.

（1）求投弹一次，命中次数X的均值和方差；

（2）求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差．

投弹一次，X服从两点分布；

重复10次，Y服从二项分布．

解　

（1）随机变量X的分布列为

0.8

因为X服从两点分布，故E（X）＝p＝0.8，D（X）＝p（1－p）＝0.8×

0.2＝0.16.

（2）由题意知，命中次数Y服从二项分布，

即Y～B（10，0.8），

∴E（Y）＝np＝10×

0.8＝8，D（Y）＝np（1－p）＝10×

0.8×

0.2＝1.6.

探究提高　若X～B（n，p），则E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）．

　为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E（ξ）＝3，标准差为.

（1）求n，p的值并写出ξ的分布列；

（2）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．

解　

（1）由E（ξ）＝np＝3，D（ξ）＝np（1－p）＝，得1－p＝，从而n＝6，p＝.

ξ的分布列为

（2）记“需要补种沙柳”为事件A，则P（A）＝P（ξ≤3），得

P（A）＝＝或P（A）＝1－P（ξ>

3）＝1－＝.

题型三　均值与方差的应用

例3　现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、；

已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p（0<

p<

1），设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整．记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资10万元，X取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机变量X1、X2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润．

（1）求X1，X2的概率分布列和均值E（X1），E（X2）；

（2）当E（X1）<

E（X2）时，求p的取值范围．

（1）求分布列，应先确定X的取值，再求X的取值对应的概率；

（2）由E（X1）<

E（X2），找出关于p的不等式，即可求出p的范围．

解　

（1）X1的概率分布列为

X1

1.2

1.18

1.17

E（X1）＝1.2×

＋1.18×

＋1.17×

＝1.18.

由题设得X～B（2，p），即X的概率分布列为

（1－p）2

2p（1－p）

故X2的概率分布列为

X2

1.3

1.25

所以E（X2）＝1.3×

（1－p）2＋1.25×

2p（1－p）＋0.2×

p2＝1.3×

（1－2p＋p2）＋2.5×

（p－p2）＋0.2×

＝－p2－0.1p＋1.3.

E（X2），得－p2－0.1p＋1.3>

1.18，

整理得（p＋0.4）（p－0.3）<

0，解得－0.4<

0.3.

因为0<

1，所以当E（X1）<

E（X2）时，

p的取值范围是0<

探究提高　

（1）解决实际应用问题时，关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件．

（2）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．

　A，B两个投资项目的利润分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为

5%

10%

2%

8%

12%

0.5

（1）在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D（Y1），D（Y2）；

（2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f（x）的最小值，并指出x为何值时，f（x）取到最小值．

解　

（1）由题设可知Y1和Y2的分布列为

Y1

Y2

12

E（Y1）＝5×

0.8＋10×

0.2＝6，

D（Y1）＝（5－6）2×

0.8＋（10－6）2×

0.2＝4，

E（Y2）＝2×

0.2＋8×

0.5＋12×

0.3＝8，

D（Y2）＝（2－8）2×

0.2＋（8－8）2×

0.5＋（12－8）2×

0.3＝12.

（2）f（x）＝D＋D

＝2D（Y1）＋2D（Y2）

＝[x2＋3（100－x）2]

＝（4x2－600x＋3×

1002）．

当x＝＝75时，f（x）＝3为最小