步步高26：离散型随机变量的均值与方差文档格式.doc

1、（1）若X服从两点分布，则E（X）_p_，D（X）p（1p）（2）若XB（n，p），则E（X）_np_，D（X）np（1p）难点正本疑点清源1 对均值（或数学期望）的理解（1）期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均（2）E（X）是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E（X）是不变的，它描述X值取值的平均状态（3）公式E（X）x1p1x2p2xnpn直接给出了E（X）的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加由此可知，求出随机变量的数学期望关键在于写出它的分布列2 方差的意义D（X）表示随机变量X对E（X）的平均偏离程度，D（X）越大表明平均偏离程度越大，说

2、明X的取值越分散，反之D（X）越小，X的取值越集中，由方差定义知，方差是建立在期望这一概念之上的在E（X）附近，统计中常用来描述X的分散程度1 若随机变量的分布列如下表，则E（）的值为_.123452x3x7xx答案解析根据概率之和为1，求出x，则E（）02x13x5x40x.2 （2017浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数若P（X0），则随机变量X的数学期望E（X）_.解析由题意知P（X0）（1p）2，p.随机变量X的分布

3、列为E（X）0123.3 某射手射击所得环数的分布列如下：789100.10.3y已知的期望E（）8.9，则y的值为（）A0.4 B0.6 C0.7 D0.9答案A解析由可得y0.4.4 已知X的分布列为1设Y2X3，则E（Y）的值为（）A. B4 C1 D1解析E（X）（1）0.E（Y）2E（X）323.5 设随机变量XB（n，p），且E（X）1.6，D（X）1.28，则（）An8，p0.2 Bn4，p0.4Cn5，p0.32 Dn7，p0.45解析XB（n，p），E（X）np1.6，D（X）np（1p）1.28，题型一离散型随机变量的均值、方差例1（2012湖北）根据以往的经验，某工程施工

4、期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量XX300300X700700X900X900工期延误天数Y6历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：（1）工期延误天数Y的均值与方差；（2）在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率思维启迪：先求出降水量在各范围内的概率，再求对应工期延误天数的概率，列出Y的分布列解（1）由已知条件和概率的加法公式有P（X300）0.3，P（300X700）P（X700）P（X300）0.70.30.4，P（700X900）P（X900）P（X700）0.90.70.2，

5、P（X900）1P（X900）10.90.1.所以Y的分布列为Y0.40.2于是，E（Y）00.320.460.2100.13；D（Y）（03）20.3（23）20.4（63）20.2（103）20.19.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.（2）由概率的加法公式，得P（X300）1P（X300）0.7，又P（300X0.90.30.6.由条件概率，得P（Y6|X300）P（X3）1.题型三均值与方差的应用例3现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率

6、都是p（0p1），设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资10万元，X取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元随机变量X1、X2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润（1）求X1，X2的概率分布列和均值E（X1），E（X2）；（2）当E（X1）E（X2）时，求p的取值范围（1）求分布列，应先确定X的取值，再求X的取值对应的概率；（2）由E（X1）1.18，整理得（p0.4）（p0.3）0，解得0.40.3.因为01，所以当E（X1）E（X2）时，p的取值范围是0探究提高（1）解决实际应用问题时，关键是

7、正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件（2）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定A，B两个投资项目的利润分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为5%10%2%8%12%0.5（1）在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D（Y1），D（Y2）；（2）将x（0x100）万元投资A项目，100x万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和求f（x）的最小值，并指出x为何值时，f（x）取到最小值解（1）由题设可知Y1和Y2的分布列为Y1Y212E（Y1）50.8100.26，D（Y1）（56）20.8（106）20.24，E（Y2）20.280.5120.38，D（Y2）（28）20.2（88）20.5（128）20.312.（2）f（x）DD2D（Y1）2D（Y2）x23（100x）2（4x2600x31002）当x75时，f（x）3为最小